Luận án Một số bất biến của Môđun liên kết với hệ tham số hầu P-chuẩn tắc

Nội dung tài liệu: Luận án Một số bất biến của Môđun liên kết với hệ tham số hầu P-chuẩn tắc

1. VIỆN HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÆNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HÅC PHẠM HÇNG NAM MËT SÈ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VÎI HỆ THAM SÈ HẦU P-CHUẨN TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HÅC Hà Nëi - 2020
2. VIỆN HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÆNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HÅC PHẠM HÇNG NAM MËT SÈ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VÎI HỆ THAM SÈ HẦU P-CHUẨN TẮC Chuy¶n ngành: Đại sè và Lý thuy¸t sè M¢ sè: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HÅC Tªp thº hướng d¨n: PGS.TS. Đoàn Trung Cường GS.TS. L¶ Thị Thanh Nhàn Hà Nëi - 2020
3. i Tóm t­t Cho (R; m) là mët vành giao ho¡n Noether địa phương và M là mët R-môđun húu h¤n sinh. Mục đích ch½nh cõa luªn ¡n là nghi¶n cùu mët lớp h» tham sè đặc bi»t cõa môđun M gọi là c¡c h» tham sè h¦u p- chu©n t­c và ùng dụng để t½nh to¡n mët sè đại lượng như đặc trưng Euler-Poincar² cõa phùc Koszul, h» sè Hilbert, đa thùc Hilbert và x¥y dựng mët lớp c¡c bªc đối đồng điều. Nëi dung luªn ¡n được chia thành 4 chương. Chương 1 đưñc dành để nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cơ sở v· môđun đối đồng điều địa phương, h» sè Hilbert, h» tham sè p-chu©n t­c, dd-d¢y và đặc trưng Euler-Poincar² bªc cao cõa phùc Koszul. Trong Chương 2 chúng tôi nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa h» tham sè h¦u p-chu©n t­c. Cho x = x1; : : : ; xd là mët h» tham sè h¦u p-chu©n t­c cõa M: X²t 0 ≤ i ≤ d − 1 và Λ ⊆ fi + 2; : : : ; dg. Trước ti¶n chúng i;Λ ni+1 tôi chùng minh r¬ng c¡c môđun U = (0 : x ) nj không M i+1 M=(xj :j2Λ)M phụ thuëc vào ni+1; : : : ; nd ≥ 2 và c¡ch chọn h» tham sè h¦u p-chu©n t­c x: Ti¸p theo, sû dụng c¡c môđun con thương này chúng tôi ch¿ ra r¬ng c¡c bªc tương ùng với c¡c h» sè kh¡c không cõa hàm đa thùc n1 nd `(M=(x1 ; : : : ; xd )M) không phụ thuëc vào c¡ch chọn h» tham sè và thu được mët d¢y b§t bi¸n quan trọng cõa M. Sû dụng bëi cõa c¡c môđun con thương này, chúng tôi đưa ra công thùc t½nh c¡c đặc trưng n1 nd Euler-Poincar² bªc cao cõa phùc Koszul χk(x1 ; : : : ; xd ; M) và c¡c h» n1 nd sè Hilbert ei(x1 ; : : : ; xd ; M) đối với mët h» tham sè h¦u p-chu©n t­c. Tø đó đưa ra so s¡nh giúa c¡c h» sè cõa c¡c đa thùc ùng với hàm độ n1 nd dài `(M=(x1 ; : : : ; xd )M); c¡c đặc trưng Euler-Poincar² bªc cao và c¡c h» sè Hilbert đối với luỹ thøa cõa mët h» tham sè h¦u p-chu©n t­c.
4. ii Trong Chương 3, cho I là mët iđêan thực sự cõa vành địa phương 0 n+1 (R; m), chúng tôi ch¿ ra hàm `(Hm(R=I )) là mët hàm đa thùc trong trường hñp I là iđêan ch½nh hoặc I là iđêan sinh bởi mët ph¦n h» tham sè h¦u p-chu©n t­c. Hơn núa, trong trường hñp I là iđêan ch½nh hoặc I là iđêan sinh bởi mët ph¦n h» tham sè chu©n t­c trong vành Cohen- Macaulay suy rëng, chúng tôi đưa ra công thùc t½nh c¡c h» sè cõa đa thùc này qua độ dài c¡c môđun đối đồng địa phương và sè bëi. Ph¦n cuèi cõa chương này, chúng tôi đưa ra v½ dụ v· mët vành địa phương R và 0 n+1 mët iđêan I sinh bởi mët ph¦n h» tham sè nhưng hàm `(Hm(R=I )) không là đa thùc theo n: Chương 4 được dành để tr¼nh bày v· mët ùng dụng cõa h» tham sè h¦u p-chu©n t­c để x¥y dựng mët họ vô h¤n c¡c bªc đối đồng điều cõa R. Chúng tôi cũng có mët sè so s¡nh giúa c¡c bªc trong họ này với bªc đồng điều cõa Vasconcelos đối với mët sè lớp môđun đặc bi»t.
5. iii Abstract Let (R; m) be a commutative Noetherian local ring and M be a finitely generated R-module. The aim of this thesis is to study a class of systems of parameters of the module M called almost p-standard systems of parameters and their applications in computing the par- tial Euler-Poincar² characteristic of Koszul complex, Hilbert coefficients, Hilbert polynomial and in constructing a family of cohomological degree. The thesis consists of four chapters. In Chapter 1, we recall some basic results on local cohomology, Hilbert coefficients, p-standard systems of parameters, dd-sequences and partial Euler-Poincar² characteristic of Koszul complex. In Chapter 2, we study several properties of almost p-standard sys- tem of parameters. Let x = x1; : : : ; xd be an almost p-standard of M: Take 0 ≤ i ≤ d and Λ ⊆ fi + 2; : : : ; dg: Firstly, we prove that the i;Λ ni+1 subquotient module U = (0 : x ) nj does not depend on M i+1 M=(xj :j2Λ)M ni+1; : : : ; nd ≥ 2 and the choice of x: By using theses subquotient mod- ules we show that the degrees corresponding to the non-zero coefficients n1 nd of the polynomial `(M=(x1 ; : : : ; xd )M) does not depend on the choice of the system of parameters and obtain a sequence of important numer- ical invariants of M. Using multiplicities of these subquotients, we give precise formulas to compute all the partial Euler-Poincar² characteristics n1 nd χk(x1 ; : : : ; xd ; M) of the Koszul complex and the Hilbert coefficients n1 nd ei(x1 ; : : : ; xd ; M) of the module with respect to an almost p-standard system of parameters. The formulas anable us to establish some com- parision between coefficients of the polynomials associated to the length n1 nd function `(M=(x1 ; : : : ; xd )M, the partial Euler-Poincar² characteris-
6. iv tics and the Hilbert coefficients with respect to powers of an almost p-standard system of parameters. 0 n+1 In Chapter 3, for an ideal I we show that the function `(Hm(R=I )) is a polynomial for n big enough if either I is a principle ideal or I is generated by part of an almost p-standard system of parameters. Fur- thermore, we are able to compute the coefficients of this polynomial in terms of length of certain local cohomology modules and usual multi- plicity if either I is principal or I is generated by part of a standard system of parameters in a generalized Cohen-Macaulay ring. We also give an example of an ideal generated by part of a system of parameters 0 n+1 such that the function `(Hm(R=I )) is not a polynomial for n  0. Chapter 4 is used for an application of almost p-standard system of parameters in a construction of an infinite family of cohomological degrees of R. We also compare the cohomological degrees in this family with the homological degree of Vasconcelos for special classes of modules.
7. v Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công tr¼nh nghi¶n cùu cõa tôi. C¡c k¸t qu£ vi¸t chung với c¡c t¡c gi£ kh¡c đã được sự nh§t tr½ cõa c¡c đồng t¡c gi£ trước khi đưa vào luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ được n¶u trong luªn ¡n là trung thực và chưa tøng được ai công bè trong b§t kỳ công tr¼nh nào kh¡c. T¡c gi£ Ph¤m Hồng Nam
8. vi Lời c£m ơn Tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến Th¦y và Cô tôi: PGS.TS. Đoàn Trung Cường và GS.TS. L¶ Thị Thanh Nhàn. Th¦y đã dành r§t nhi·u công sùc và ki¶n nh¨n để không ch¿ d¨n d­t, gi£ng d¤y cho tôi v· ki¸n thùc, kinh nghi»m và tư duy cõa người làm To¡n, mà cán luôn ch¿ b£o cho tôi c¡ch thùc nh¼n nhªn cõa người làm To¡n trong cuëc sèng. Th¦y đã t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi trong học tªp, nghi¶n cùu và cho tôi cơ hëi được giao lưu với cëng đồng Đại sè giao ho¡n. Điều đó đã giúp tôi tự tin hơn trong bước đầu ti¶n nghi¶n cùu khoa học. Được làm vi»c dưới sự hướng d¨n cõa Th¦y là mët may m­n lớn cõa tôi. Tôi xin gûi lời c£m ơn đến GS. L¶ Thị Thanh Nhàn. Sự tªn t¼nh d¤y dé và ch¿ b£o cõa Cô tø lúc tôi học Đại học đã giúp tôi có cơ sở để có th¶m nhúng hoài b¢o trong khoa học. Nhờ nhúng định hướng, ch¿ d¨n cõa Cô mà tôi đã được may m­n học tªp và nghi¶n cùu trong điều ki»n tèt nh§t. Tôi xin được bày tỏ t§m láng bi¸t ơn vô h¤n đến Th¦y, Cô. Tôi xin được bày tỏ láng bi¸t ơn vô cùng s¥u s­c đ¸n GS. TSKH. Nguy¹n Tự Cường và nhóm nghi¶n cùu. Th¦y đ¢ t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi để tôi có cơ hëi tham gia c¡c hëi th£o quan trọng, c¡c buêi học v· c¡c v§n đề mới. Với t§m láng cõa m¼nh, tôi xin được tr¥n trọng c£m ơn Th¦y. Tôi cũng tr¥n trọng c£m ơn Vi»n To¡n học, Trung t¥m Đào t¤o sau đại học, c¡c pháng chùc n«ng cõa Vi»n To¡n học đã cho tôi mët môi trường học tªp và nghi¶n cùu lý tưởng để tôi có thº hoàn thành luªn ¡n này. Tôi cũng tr¥n trọng c£m ơn pháng Đại sè và Lý thuy¸t sè đã t¤o điều ki»n thuªn lñi để tôi được tham gia c¡c sinh ho¤t khoa học cõa li¶n pháng.
9. vii Tôi xin ch¥n thành c£m ơn Ban Gi¡m hi»u, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n - Tin, c¡c đồng nghi»p trường Đại học Khoa học, Đại học Th¡i Nguy¶n đã t¤o điều ki»n thuªn lñi nh§t, phù hñp nh§t để tôi vøa hoàn thành vi»c học tªp, vøa đảm b£o công vi»c gi£ng d¤y cõa m¼nh t¤i Trường. Tôi xin c£m ơn c¡c anh, chị đang học tªp và nghi¶n cùu t¤i Pháng Đại sè và Lý thuy¸t sè v· nhúng trao đổi, chia s´ và hé trñ trong khoa học cũng như cuëc sèng. Tôi xin được bày tỏ sự bi¸t ơn vô h¤n tới Bè, Mẹ, D¼ và anh chị em trong gia đình đã luôn động vi¶n, ki¶n nh¨n, chờ đợi k¸t qu£ học tªp cõa tôi. Đặc bi»t là vñ: Phương Th£o và hai con nhỏ: Khôi Nguy¶n và B£o Ngọc, nhúng người đã luôn hy sinh r§t nhi·u, luôn lo l­ng, mong mỏi tôi ti¸n bë tøng ngày. Luªn ¡n này tôi xin được dành tặng cho nhúng người mà tôi y¶u thương. T¡c gi£ Ph¤m Hồng Nam
10. B£ng c¡c k½ hi»u N tªp c¡c sè tự nhi¶n 1,2,3. . . R tªp c¡c sè thực Ann(M) iđêan linh hóa tû cõa môđun M Ass(M) tªp iđêan nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M depth(M) độ s¥u cõa M dim(M) chi·u cõa M e(I; M) sè bëi cõa M đối với iđêan I e(M) sè bëi cõa M đối với iđêan cực đại m ei(I; M) h» sè Hilbert thù i cõa M đối với iđêan I i HI(M) môđun đối đồng điều địa phương thù i cõa M với gi¡ I hdeg bªc đồng điều I(M) sè Buchsbaum cõa M `(−) hàm độ dài ModR ph¤m trù c¡c R-môđun húu h¤n sinh R(I) vành Rees cõa R đối với iđêan I Supp(M) gi¡ cõa môđun M udeg bªc không trën l¨n µ(M) sè ph¦n tû sinh tèi tiºu cõa M viii