Luận văn Biểu diễn Glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt Dirac năng lượng cao trong thế nhẵn

Nội dung tài liệu: Luận văn Biểu diễn Glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt Dirac năng lượng cao trong thế nhẵn

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phan Thị Giang BIỂU DIỄN GLAUBER ĐỐI VỚI BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA CÁC HẠT DIRAC NĂNG LƯỢNG CAO TRONG THẾ NHẴN Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2013 0
2. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI 1.1. Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài ............................................................ 5 1.2. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trên thế ngoài .................................... 8 1.3. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ của hạt có spin .................................. 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH 2.1. Phương trình Dirac ........................................................................................ 18 2.2. Thế ngoài tĩnh ................................................................................................. 19 CHƯƠNG 3: TÁN XẠ HẠT DIRAC LÊN THẾ NGOÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 3.1. Biểu diễn biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm ......................... 21 3.2. Biên độ tán xạ của hạt Dirac ở các trường ngoài khác nhau ..................... 24 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 31 PHỤ LỤC A ........................................................................................................... 34 PHỤ LỤC B ........................................................................................................... 36 1
3. MỞ ĐẦU Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính trước đây, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng lớn /9/ . Chính vì vậy, trong vùng tương đối tính và năng lượng cao việc tổng quát hoá gần đúng eikonal trên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử /3- 10/. Phép gần đúng eikonal thực tế trong lý thuyết trường tương ứng với việc tuyến tính hoá hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của hạt trao đổi là nhỏ. Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng /6, 8, 15-18/. Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao đổi lượng tử ảo riêng biệt với nhau. Tại vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ thì mọi phương pháp được nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ( hay còn gọi là biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ). Tán xạ thế năng lượng cao đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong gần đúng eikonal, song các nghiên cứu này chủ yếu dành cho các hạt vô hướng với trường ngoài. Thật lý thú nếu mở rộng phép gần đúng này cho các bài toán tán xạ của các hạt có spin. Mục đích của Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu bài toán tán xạ của hạt Dirac trên thế ngoài. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu dẫn. Chương 1, Bài toán tán xạ trên thế ngoài. Việc tìm biên độ tán xạ trên thế ngoài được tiến hành theo hai cách: i/ tìm biểu thức chính xác của hàm sóng sau tán xạ; ii/ tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Trong chương 1 và 2, chúng ta vận dụng cách tìm thứ nhất, còn chương 3 ta vận dụng cách thứ hai tìm biên độ tán xạ. Trong $ 1.1 của chương 1, dựa vào phương trình Schrodinger tôi giới thiệu vắn tắt cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài. Ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ 2
4. nhỏ ta thu nhận được biểu diễn Glauber (hay người ta còn gọi là biểu diễn eikonal ) cho biên độ tán xạ. Việc tổng quát hóa kết quả này cho hạt cùng với spin tán xạ lên thế ngoài được trình bầy ở mục $ 1.2. Ở đây chúng tôi đã chỉ ra biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ chỉ có được khi nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm khác nhau trùng với tích thông thường của các thế ngoài, nếu giao hoán tử của chúng ở các thời điểm khác nhau bằng không. Chương 2, Bài toán tán xạ cho hạt Dirac ở trường ngoài. Cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài bằng phương pháp tương tự của chương 1 qua việc tìm hàm sóng. Xuất phát từ phương trình tương đối tính cho hạt Dirac ở trường ngoài biên độ tán xạ của hạt nhận được bằng công thức tương tự (1.1.15). Trong mục $ 2.1 tìm biên độ tán xạ tổng quát cho hạt trên thế ngoài sử dụng phương trình Dirac cải biến-phương trình Dirac dạng toàn phương, thay cho phương trình Dirac dạng tuyến tính thông thường. Việc cải biến này cho ta đưa vào phương trình một tham số mới  , song trên mặt khối lượng cả hai loại phương trình Dirac đều cho cùng một biểu thức của biên độ tán xạ, điều này có nghĩa trên mặt khối lượng biên độ tán xạ không phụ thuộc vào tham số mới  . Ở mục $ 2.2 khi trường ngoài không phụ thuộc vào thời gian, ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta thu được biểu diễn eikonal cho hạt Dirac tán xạ trên thế ngoài, ở đây ta bàn luận trong những trường hợp nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm khác nhau trùng với T- tích thông thường của các toán tử thế ngoài . Chương 3, Bài toán tán xạ và phương pháp tích phân phiếm hàm. Khác với hai chương 1&2 là xuất phát từ phương trình cho hạt ở trường ngoài, việc tìm biên độ tán xạ bằng cách tìm hàm sóng sau khi tán xạ, ở đây ta tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Bước đầu chúng ta thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green của hạt ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng việc tách các cực điểm liên quan đến đường ngoài của hàm Green của hạt ở thế ngoài, chúng ta tìm được biểu thức giải tích tổng quát cho biên độ tán xạ của hạt lên thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính các tích phân phiếm hàm ta sử dụng phép gần đúng eikonal hay phép gần đúng quỹ đạo thẳng. Trong mục $ 3.1 ta 3
5. giới thiệu cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Trong mục $3.2, với các trường ngoài cụ thể khác nhau, ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta đã thu được biểu diễn tán xạ Glauber của hạt Dirac trên thế ngoài. Khác với quá trình tán xạ các hạt không có cấu trúc nội tại- không có spin lên thế ngoài, trong biên độ tán xạ của hạt có spin sẽ xuất thêm số hạng mới bổ xung trong biên độ tán xạ. Số hạng bổ xung này diễn tả việc quay spin của hạt trong quá trình tán xạ. . 4
6. CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI Trong chương này tôi nghiên cứu bài toán tán xạ thế, việc tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm sóng sau khi tán xạ dựa vào phương trình Schrodinger ở trường ngoài cho hạt không có spin trong mục $ 1.1. Mục $ 1.2 dành cho việc thiết lập biểu thức cho biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài. Nếu V - là độ lớn của thế ngoài , E - 2m năng lượng của hạt,  -là góc tán xạ, a chiều dài tán xạ; k2 E thì phép gần 2 V 1 1 đúng eikonal hợp lệ với điều kiện sau 1 và ka được thỏa E V V 2 E E mãn, và ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta còn gọi là biểu diễn Glaubert, người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng tử /22/ . Kết quả thu được trong mục $ 1.2 được tổng quát hóa cho bài toán tán xạ của hạt có spin ở mục $1.3. Ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được biểu diễn Glauber cho hạt có spin tán xạ trên trường ngoài, trong điều kiện giao hoán tử của các thế tại các thời điểm khác nhau thì giao hoán với nhau. Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương trình Schrodinger : é2 r ù r r êh 2 ú ê- Ñ +U()()() r ú y r = E y r . ë2m û Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng của các dòng hạt tới dọc theo trục 0z. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt tới chuyển r ikz động tự do nên chuyển động của nó được mô tả bởi sóng phẳng : Ytoi ()r = e Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn r< a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi. 5
7. Sau đó hạt bị tán xạ khi ở khá xa tâm thì lại chuyển động tự do. Chuyển động của những hạt bị tán xạ phải được mô tả bởi các sóng phân kỳ. Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới và sóng tán xạ : eikr  r  r f (,)  (1.1.1) tá n xa toi r Biên độ của sóng phân kỳ f (,) gọi là biên độ tán xạ. $ 1.1 Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger: éh2 r ù r r ê-()Ñ2 +V r úψ( r ) = E ψ( r ) (1.1.2) ê ú ë2m û r 2mE r 2mV ( r ) sử dụng các ký hiệu k 2 = và U() r = phương trình (1.1.2) có dạng : h 2 h 2  2 2  k ()()() r U r  r (1.1.3) Nghiệm của phương trình vi phân (1.1.3) có thể được viết dưới dạng phương trình tích phân:  (r )  ( r ) d3 r ' G ( r , r ') U ( r ')  ( r ') (1.1.4) 0 trong đó hàm ()r thoả mãn phương trình cho hàm thế thế tự do: r éÑ2 +k 2 ù f( r ) = 0 (1.1.5) ëê ûú Nghiệm của phương trình (1.1.5) có dạng sóng phẳng hướng theo trục 0z đã chọn : r r f()r = eik. z (1.1.6)  Hàm Green G0 ( r , r ') là nghiệm của phương trình:   2 2 (3)  k G0 ( r , r ')  ( r r ') ' 2 2 1 G0 r, r  k  ( r r ') 6
8. is r r / 1 e 3 = d s (1.1.7) 3 2 2 2 k s Chuyển sang tọa độ cầu s,, : d3 s= s 2 dssin θdθdφ / is r r 2 2 / e3 s i sr r c os d s ds d sin  e 2 2 2 2 k s0 k s 0 0 Ta có : / isr r c os isr r/// c os e 1 is r r -is r r esin d  e e // 0 isr r is r r 0 / is r r isr r ' -is r r ' e3 2 se se d s ds ds 2 2 2 2 2 2 k s i r r' 0 k s 0 k s 2 seisr r ' = ds (1.1.8) 2 2 i r r' k s Áp dụng lý thuyết thặng dư của hàm phức : isr r ' is r r ' se se ikr r ' ds ds ie (1.1.9) 2 2 2 2 k s k s Thay kết quả (1.1.9) vào (1.1.7) ta thu được biểu thức tường minh của hàm Green: r r ik r- r ' r r 1 e G0( r , r ') = - r r (1.1.10) 4p r- r ' Thay (1.1.10) và (1.1.6) vào (1.1.4) ta thu được nghiệm của phương trình (1.1.3): r r ik r- r ' ur1 e r r y(r ) = eikz -ò d3 r 'r r U ( r ') y ( r ') . (1.1.11) 4p r- r ' Như đã phân tích ở trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận của hàm sóng. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy dò (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng r' r và do đó suy ra gần đúng sau: 7
9.  2 r.'' r r r r' r O (1.1.12) r r Từ (1.1.12), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.11) dạng: r ur r.' r rik() r- r r ikz 13 1 y(r ) = e - d r ' er U ( r ') y ( r ') (1.1.13) r® ¥ ò 4p r suy ra: eikr  r =eikz + f (,) q j (1.1.14) r r với 1 r r r r f(q , j ) = -ò d3 r ' e- ik r U ( r ') y ( r ') (1.1.15) 4p r được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài U(r), ở đây k k . r 8
10. $1.2. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trên thế ngoài Trong phần này, ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1.3)  2 2  k ()()() r U r  r (1.2.1) rr rikr r Ta đặt: Ψ()() r= e φ r và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó ta có: 2 2 ikr ikr  k e r U r e r  eikr r k2 e ikr r U r e ikr r ikr ikr 2 ikr ikr  ike r  e  r ke rUre r (1.2.2) 2ik  r U r r 2 r 2 2ik  U r r  r Sử dụng ký hiệu r (,) b z và chọn k dọc theo hướng z suy ra: é¶ r ù r r ê2ik- U ( b , z ) úφ( b , z ) = - Ñ 2 φ( b , z ) (1.2.3) ëê¶ z ûú Nghiệm của phương trình (1.2.3) có thể viết dưới dạng: r r+ ¥ r r r φ(,) b z= η (,) b z - d2 b ' dz '(,,',') G b z b z Ñ 2 φ (',') b z ò ò e (1.2.4) - ¥ (,)b z thoả mãn phương trình:  2ik U ( b , z )  ( b , z ) 0 . (1.2.5) z  2ik b , z U b , z  b , z z   b, z 1 z U b, z  b, z 2ik r r Lấy tích phân hai vế với điều kiện biên là η( b )= η ( b , z ® - ¥ ) = 1 ta thu được: z 1 r U(,) b u du r 2ik ò η(,) b z= e - ¥ (1.2.6) 9