Luận văn Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

Nội dung tài liệu: Luận văn Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN ------------------ TRƯƠNG THỊ LIÊN CẤU TRÚC ĐẠI SÈ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HÅC Chuy¶n ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THÈNG KÊ TOÁN HÅC M¢ sè: 60.46.01.06 Người hướng d¨n khoa học TS. NGUYỄN THỊNH HÀ NËI - NĂM 2014
2. Mục lục LÍI NÂI ĐẦU 3 LÍI CẢM ƠN 5 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Đại sè Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đồng c§u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 T½nh Dedekind đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Bao h¼nh tr¶n (Upper envelopes) . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Chuéi đi·u ki»n đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Hàm cëng t½nh tr¶n đại sè Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 Đại sè thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Độ đo đại sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nguy¶n t­c ph¥n lo¤i cõa độ đo đại sè . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 T½ch đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Topo cõa đë đo đại sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Đồng c§u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Phi¸m hàm cëng t½nh tr¶n độ đo đại sè . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Nguy¶n t­c ph¥n lo¤i cõa không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Địa phương hóa ngặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Nguy¶n tû và phi nguy¶n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Định lý trù mªt cõa Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Kỳ vọng có điều ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 T½ch vô h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Định lý Vitali tr¶n Rr .......................... 17 1.8 Matingle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9.1 Không gian tuy¸n t½nh được s­p tøng ph¦n . . . . . . . . . . 18 1.9.2 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.3 D£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
3. 1.9.4 Không gian Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9.6 Không gian đối ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.1 Không gian L0 ........................... 21 1.10.2 Suprema và infima trong L0 ................... 21 1.10.3 D£i trong L0 ............................ 21 1.11 Ti¶n đề chọn và bê đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.1 Ti¶n đề chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.2 Bê đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ĐỊNH LÝ MAHARAM 23 2.1 Sự ph¥n lo¤i độ đo đại sè thu¦n nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Nguy¶n tû tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Lo¤i Maharam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Đại sè Bool thu¦n nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Ph¥n lo¤i độ đo đại sè địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Định lý Maharam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 T¸ bào (The cellularity) cõa đại sô Boolean . . . . . . . . . . 37 3 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG 44 3.1 Ph²p n¥ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Mªt độ dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Định lý ph²p n¥ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 ĐỊNH LÝ KWAPIEN 56 4.1 To¡n tû tuy¸n t½nh dương tø không gian L0 đến không gian Riesz Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 To¡n tû tuy¸n t½nh dương trong độ đo đại sè nûa húu h¤n . . . . . 58 KẾT LUẬN .................................. 65 Tài li»u tham kh£o .............................. 66 2
4. LÍI NÂI ĐẦU Chúng ta đã được học và t¼m hiºu mët sè c§u trúc đại sè cơ b£n như nhóm, vành, trường,...Mở rëng l¶n chút núa t¼m hiºu v· c§u trúc đại sè cõa độ đo x¡c su§t phùc t¤p hơn r§t nhi·u như đại sè Borel, đại sè Bool, độ đo đại sè, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm... Luªn v«n này tr¼nh bày ba định lý mà tôi th§y r§t hay trong lý thuy¸t độ đo: Định lý Maharam, định lý ph²p n¥ng, định lý Kwapien. Ngoài ph¦n mở đầu, k¸t luªn và tài li»u tham kh£o, luªn v«n chia làm bèn chương: Chương 1: Ki¸n thùc chu©n bị . Chương này tr¼nh bày nhúng ki¸n thùc cơ b£n v· đại sè Boolean, độ đo đại sè. Ph¦n cuèi cõa chương tôi giới thi»u v· không gian Riesz. Chương 2: Định lý Maharam. Ph¦n đầu cõa chương này định nghĩa và mô t£ ’sự thu¦n nh§t' cõa độ đo x¡c su§t. Ph¦n sau tr¼nh bày được định lý quan trọng Maharam tr¶n sự ph¥n lo¤i cõa độ đo đại sè. Chương 3: Định lý ph²p n¥ng Chương này tr¼nh bày được ph²p n¥ng và mªt đë dưới, không gian địa phương hóa ngặt có mªt độ dưới. X¥y dựng ph²p n¥ng tø mªt độ. Ph¦n cuèi cõa chương mô t£ không gian địa phương hóa ngặt đầy đủ s³ có ph²p n¥ng. 3
5. Chương 4: Định lý Kwapien Chương này tr¼nh bày mët sè v§n đề tương đối cơ b£n li¶n quan tới to¡n tû tuy¸n t½nh dương tø không gian L0 đến không gian Riesz Ascimet. Sau đó chuyºn sang mët ph¥n t½ch r§t quan trọng cõa Kwapien v· to¡n tuy¸n t½nh dương tø không gian L0 đến không gian L0 cõa độ đo đại sè nûa húu h¤n. 4
6. LÍI CẢM ƠN B£n luªn v«n này được hoàn thành dưới sự hướng d¨n nghi¶m kh­c và tªn t¼nh ch¿ b£o cõa TS. Nguy¹n Thịnh. Th¦y đã dành nhi·u thời gian hướng d¨n cũng như gi£i đáp c¡c th­c m­c cõa tôi trong suèt qu¡ tr¼nh làm luªn v«n. Tôi muèn bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến người th¦y cõa m¼nh. Qua đây, tôi xin gûi tới c¡c th¦y cô Khoa To¡n- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Đại học Quèc gia Hà Nëi, cũng như c¡c th¦y cô đã tham gia gi£ng d¤y khóa cao học 2011- 2013, lời c£m ơn s¥u s­c nh§t đối với công lao d¤y dé trong suèt qu¡ tr¼nh gi¡o dục đào t¤o cõa nhà trường. Tôi xin c£m ơn gia đình, b¤n b± và t§t c£ mọi người đã quan t¥m, t¤o điều ki»n, động vi¶n cê vũ tôi để tôi hoàn thành nhi»m vụ cõa m¼nh. Hà Nëi, Th¡ng 8 n«m 2014. 5
7. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để t¼m hiºu ph¦n ch½nh cõa luªn v«n: Định lý Maharam, định lý ph²p n¥ng và định lý Kwapien, chúng ta c¦n mët lượng ki¸n thùc cơ b£n được tr¼nh bày dưới đây. Chương này không đi s¥u nghi¶n cùu chi ti¸t mà ch¿ cung c§p ki¸n thùc để chu©n bị cho c¡c chương sau n¶n ph¦n ki¸n thùc được tr¼nh bày có l³ hơi rời r¤c. 1.1 Đại sè Bool Định nghĩa 1.1.1. +) Vành Bool là vành (A; +;:) tr¶n đó a2 = a; 8a 2 A . +) Đại sè Bool là vành Bool A với đồng nh§t nh¥n 1 = 1A . Trong trường hñp này ta ch§p nhªn 1 = 0. Bê đề 1.1.2. Cho A là vành Bool, I là ideal cõa A và a 2 AnI th¼ có mët đồng c§u vành φ : A ! Z2 sao cho φa = 1 và φd = 0; 8d 2 I. 1.1.1 Đồng c§u +) Đại sè con: Cho A là đại sè Bool. Đại sè con cõa A có nghĩa là vành con cõa A có chùa đồng nh§t nh¥n 1 = 1A. 6
8. M»nh đề 1.1.3. Ideal trong đại sè Bool. N¸u A là đại sè Bool, tªp I ⊆ A là ideal cõa A khi và ch¿ khi 0 2 I; a [ b 2 I; 8a; b 2 I b§t kỳ và a 2 I với mọi b 2 I; a ⊆ b. +) Đồng c§u Bool: Đồng c§u Bool có nghĩa là hàm π : A ! B là đồng c§u vành và π (1A) = 1B. M»nh đề 1.1.4. Cho A; B; E là đại sè Bool a) N¸u π : A ! B là đồng c§u Bool th¼ π (A) là đại sè con cõa B. b) N¸u π : A ! B và θ : B ! E là c¡c đồng c§u Bool th¼ θπ : A ! E là đồng c§u Bool. c) N¸u π : A ! B là đồng c§u Bool và song ¡nh th¼ π−1 : B ! A là đồng c§u Bool. M»nh đề 1.1.5. Cho A; B là đại sè Bool và hàm π : A ! B. Khi đó ta có c¡c điều sau tương đương: i. π là đồng c§u Bool. ii. π (a \ b) = πa \ πb và π (1Ana) = 1Bnπa; 8a; b 2 A iii. π (a [ b) = πa [ πb và π (1Ana) = 1Bnπa; 8a; b 2 A iv. π (a [ b) = πa [ πb và πa \ πb = 0B; a; b 2 A; a \ b = 0A; π (1A) = 1B Bê đề 1.1.6. Cho A là đại sè Bool và A0 là đại sè con cõa A. Cho c là ph¦n tû b§t kỳ cõa A th¼ A1 = f(a \ c) [ (bnc): a; b 2 A0g là đại sè con cõa A. Khi đó A1 gọi là đại sè con cõa A sinh bởi A0 [ fcg. Bê đề 1.1.7. Cho A; B là đại sè Bool và A0 là đại sè con cõa A và π : A0 ! B là đồng c§u Bool và c 2 A. N¸u v 2 B sao cho πa ⊆ v ⊆ πb; a; b 2 A0 và a ⊆ c ⊆ b th¼ có duy nh§t mët đồng c§u Bool π1 tø A1 cõa A sinh bởi A0 [ fcg sao cho π1 th¡c triºn cõa π và π1c = v. 7
9. Chúng ta s³ có mët sè kh¡i ni»m quan trọng. Định nghĩa 1.1.8. : Cho P là tªp được s­p ri¶ng ph¦n và C là tªp con cõa P. a. C là có hướng đi l¶n (upwards-directed) n¸u với p; p0 2 C b§t kỳ có q 2 C sao cho p ≤ q và p0 ≤ q. Tùc là n¸u c¡c tªp con b§t kỳ không réng húu h¤n cõa C đều có cªn tr¶n trong C. Tương tự, C là có hướng đi xuèng (downwards-directed) n¸u p; p0 2 C b§t kỳ có q 2 C sao cho p ≤ q và q ≤ p0. Tùc là c¡c tªp con b§t kỳ không réng húu h¤n trong C đều có cªn dưới trong C. b. C là đóng có thù tự n¸u sup A 2 C với méi A là tªp con không réng có hướng đi l¶n cõa C sao cho supA đưñc định nghĩa tr¶n P và inf A 2 C với méi A là tªp con không réng có hướng đi xuèng cõa C sao cho infA được x¡c định tr¶n P. c. C là d¢y đóng có thù tự n¸u sup p 2 C với méi (p ) là d¢y không gi£m n2N n n n2N tr¶n C sao cho sup p được x¡c định tr¶n P, và inf p 2 C với méi (p ) là n2N n n2N n n n2N d¢y không t«ng tr¶n C sao cho infn2Npn được x¡c định tr¶n P. d. B£o toàn thù tự: Cho P và Q là 2 tªp được s­p ri¶ng ph¦n và φ : P ! Q là hàm b£o toàn thù tự n¸u φ (p) ≤ φ (q) tr¶n Q với p ≤ q tr¶n P. e. Ta nói r¬ng φ là li¶n tục có thù tự n¸u i. φ (sup A) = sup φ (p) với méi A là tªp con không réng có hướng đi l¶n cõa P và p2A supA được x¡c định tr¶n P. ii. φ (inf A) = inf φ (p) với méi A là tªp con không réng có hướng đi xuèng cõa P p2A và infA được x¡c định tr¶n P. f. φ là d¢y li¶n tục có thù tự hoặc σ li¶n tục có thù tự n¸u: i. φ (p) = sup φ (p ) với (p ) là d¢y không gi£m tr¶n P và p = sup p tr¶n P. n n n2N n2N n n2N 8
10. ii. φ (p) = inf φ (p ) với (p ) là d¢y không t«ng tr¶n P và p=inf p tr¶n P. n n n2N n2N n n2N g. Tªp D ⊆ A với A đại sè Bool là trù mªt có thù tự n¸u 8a 2 A; a 6= 0 th¼ có d 6= 0; d 2 D sao cho d ⊆ a . h. Tªp Cofinal i. C là cofinal với P n¸u mọi p 2 P có q 2 C sao cho p ≤ q. ii. Cofinality cõa P (ký hi»u cf(P)) là lực lượng nhỏ nh§t cõa tªp con cofinal b§t kỳ cõa P. M»nh đề 1.1.9. Cho A là đại sè Bool. a. N¸u e 2 A và A ⊆ A là tªp không réng sao cho supA được x¡c định tr¶n A th¼ sup fe \ a : a 2 Ag được x¡c định và b¬ng e \ sup A. b. N¸u e 2 A và A ⊆ A là tªp không réng sao cho infA được x¡c định tr¶n A th¼ inf fe [ a : a 2 Ag được x¡c định và b¬ng e \ infA. c. Gi£ sû r¬ng A; B 2 A là 2 tªp không réng và supA, supB được x¡c định tr¶n A th¼ sup fa \ b : a 2 A; b 2 Bg được x¡c định và b¬ng sup A \ sup B. d. Gi£ sû r¬ng A; B 2 A là 2 tªp không réng và infA, infB được x¡c định tr¶n A th¼ inf fa [ b : a 2 A; b 2 Bg được x¡c định và b¬ng infA [ infB. Bê đề 1.1.10. N¸u A là đại sè Bool và D ⊆ A là trù mªt có thù tự th¼ với a 2 A b§t kỳ có tªp rời nhau C ⊆ D sao cho sup C = a. Nói ri¶ng: n¸u a = sup fd : d 2 D; d ⊆ ag th¼ có ph¥n ho¤ch đơn vị C ⊆ D. 1.1.2 T½nh Dedekind đầy đõ Định nghĩa 1.1.11. : Cho P là tªp được s­p ri¶ng ph¦n. a. P là Dedekind đ¦y đủ hoặc t½nh đầy đủ có thù tự hoặc đầy đủ mët c¡ch có điều ki»n n¸u mọi tªp con không réng cõa P có cªn tr¶n th¼ có cªn tr¶n nhỏ nh§t. 9