Luận văn Moment từ dị thường của Electron và phương pháp Pauli-villars trong điện động lực học lượng tử

Nội dung tài liệu: Luận văn Moment từ dị thường của Electron và phương pháp Pauli-villars trong điện động lực học lượng tử

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- TRẦN ANH BÌNH MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 1
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- TRẦN ANH BÌNH MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán Mã số : 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2012 2
3. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 5 CHƢƠNG 1. PHƢƠNG TRÌNH PAULI-VILLARS ..................................... 8 1.1. Phƣơng trình Pauli-Villars .................................................................. 8 1.2. Phƣơng trình Dirac ............................................................................. 9 1.3. Các bổ chính ..................................................................................... 12 CHƢƠNG 2. CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN .................................................. 20 2.1. S-Ma trận ......................................................................................... 20 2.2. Các giản đồ Feynman ....................................................................... 24 2.3. Hệ số dạng điện từ ............................................................................ 25 CHƢƠNG 3. BỔ CHÍNH CHO MOMENT ................................................. 28 3.1. Bổ chính cho moment ....................................................................... 28 3.2. Moment từ dị thƣờng ....................................................................... 37 KẾT LUẬN .................................................................................................. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 41 PHỤ LỤC A ................................................................................................. 42 PHỤ LỤC B ................................................................................................. 46 3
4. MỞ ĐẦU Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ nhƣ sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/ Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của electron với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ của tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng moment từ electron  , và nó bằng ee00  0 ( m0 và e0 là khối lƣợng “trần” và điện tích “trần” của 22m00 c|1 c m electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron mm0 R và điện tích electron ee0 R sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng. Lƣu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm. Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc moment từ của electron bằng  1,003875 0 , giá trị này đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng của electron. J. Schwinger /13/ là ngƣời đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thƣờng của electron vào năm 1948 và ông thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai 4
5. số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10 10 %). Biểu thức giải tích của moment từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã thu đƣợc 23 ly thuyet 0 1 0,3274823 1,184175 (0.1) 2 1,001159652236 28 .0 R 1,00115965241 20 . 0 (0.2) Ở đây về cơ bản các giá trị moment đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với nhau. Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị thƣờng của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli-Villars. Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, Kết luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo. Chƣơng 1. Phƣơng trình Pauli và moment từ của electron. Phƣơng trình Pauli và moment từ dị thƣờng có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từphƣơng trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu đƣợc phƣơng trình Pauli với số hạng tƣơng tác của moment từ electron với trƣơng ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điện từ ngoài trong gần đúng v , v – là vận tốc của c hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp theo cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn thu đƣợc bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3. Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với 5
6. trƣờng điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính. Chƣơng 3. Moment từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp Pauly-Villars ( P-V ) ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính cho moment từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở mục 3.2. Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự. Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ x xtxxx0 ,,,, 1 2 yx 3 z tx thì các véctơ tọa độ hiệp biến  xgx  xtx0 ,,,, 1 xx 2 yx 3 z tx , trong đó 1 0 0 0 0 1 0 0 gg   0 0 1 0 0 0 0 1 Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. 6
7. CHƢƠNG 1 PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa moment từ của electron với trƣờng điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của moment từ với trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục $1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc ta có phƣơng trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen. 1.1. Phƣơng trình Pauli Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng trình Pauli có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm sóng  trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng v có một thành phần c  rt, phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là sz . Kết quả để cho hàm sóng  r,, sz t là một spinor hai thành phần  1 rt,, 2  r,, sz t (1.1)   2 rt,, 2 Vì hạt có spin nên nó có momen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann momen từ của hạt với spin bằng  . 2 7
8.  0 , (1.2) - là magneton Bohr, còn  là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trƣờng điện từ ngoài, ta có thêm năng lƣợng tƣơng tác phụ. e e0  U  H s sH (1.3) mc2 m0 c Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng p2 H U() r (1.4) 2m0 Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dƣới đây trong phƣơng trình Schrodinger e p p0 A c (1.5) E E e0 Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng phụ e  U  H 0 sH . Kết quả ta thu đƣợc phƣơng trình 2mc0 2  r,, sz t 1 ee00  i pAerUr 0  sHrst ,,z (1.6) t 22 m00 c m c ở đây r , Ar() là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình 0 (1.6) là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng Zeemann. 1.2. Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng chính tắc ta có:  ()x e0 02 i c p A e00 A  m c  () x (1.7) tc Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần 8
9. 13  u ud ,,   (1.8) 24  d Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình  u e0 02 i c p A du e00 A m c  tc (1.9)   d e9 02 i c p A ud e00 A m c  tc  Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai thành phần dƣới). Kể thêm 2  0 ( ) 2 v ( ) i e0 Au , d m 0 c 1 O 2 u , d (1.10) tc Phƣơng trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm dƣơng (+) 2  e0 () v du p A O 2 (1.11) 2m0 c c c Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-) 2 ()()  e0 v ud p A O 2 (1.12) 2m0 c c c Điều này có nghĩa nhƣ sau: trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng thì spinor  d liên hệ với  u và trong trƣờng hợp nghiệm âm thì spinor liên hệ với thừa số . Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dƣơng ta có v c 1  u O(/) v c (1.13)  2 3  d 1 ev 20 i  p A m0 c eA O 3 u t2 m c c  0 và để cho nghiệm âm O(/) v c  d 1 (1.14) 9
10.  2 3  u 1 ev 20 i   p A m0 c eA O 3 d t2 m c c  0 Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau A  B ()() AB i  A B , e e e p A p A B (1.15) c c ic Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac   iH nr t 2 1 e e v3 nr 20ˆ H  m0 c p A eA B O 3 , (1.16) 22m c m c c  00  0 ˆ 0   2 đúng đến bậc v cùng với toán tử và tự liên hợp . H nr . Nếu chúng ta giới hạn ở c2 nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phƣơng trình này với độ chính xác 2 mc0 trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác MB giữa moment từ (hay spin ) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn e eg M()e  S,2 g (thừa số Lande) (1.17) 22m00 c m c Ngƣợc lại trong phƣơng trình Pauli số hạng này đƣa vào phƣơng trình theo kiểu hiện tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ bản, nhƣ các proton hay các neutron quá trình giới p hạn trên dẫn đến các kết quả sai M eS/ mp c . Rõ ràng trong những trƣờng hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận đƣợc phƣơng trình phi tƣơng đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tƣợng luận là cộng “bằng tay” các số hạng moment.(xem them bài tập 11 và 22) 10