Luận văn Một số bài toán hình học tổ hợp

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số bài toán hình học tổ hợp

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________******______________ VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội - 2015 1
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________******______________ VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp. Mã số: 60460113. LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ ANH VINH Hà nội – 2015 2
3. MỤC LỤC CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN PHỦ HÌNH ..................................................................... 5 1.1. Một số lý thuyết cơ sở ................................................................................................ 5 1.2. Một số bài toán phủ hình .......................................................................................... 6 CHƢƠNG 2. BÀI TOÁN ĐỒ THỊ, TÔ MÀU ...................................................... 19 2.1. Lý thuyết cơ bản về bài toán tô màu ....................................................................... 19 2.2. Phương pháp tô màu giải bài toán hình học .......................................................... 20 2.2.1. Một số bài toán tô màu đồ thị ........................................................................ 20 2.2.2. Một số bài toán tô màu ô vuông ..................................................................... 37 2.2.3. Một số bài toán dùng phƣơng pháp tô màu ô vuông và tính chất bất biến41 CHƢƠNG 3. NGUYÊN LÝ CỰC HẠN ................................................................ 47 3.1. Nguyên lý cực hạn ................................................................................................... 47 3.2. Ứng dụng nguyên lý cực hạn .................................................................................. 47 3.2.1. Một số bài toán đánh giá góc .......................................................................... 47 3.2.2. Một số bài toán đánh giá khoảng cách, độ dài ............................................. 54 3.2.3. Một số bài toán đánh giá diện tích, thể tích .................................................. 63 1
4. LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán hình học tổ hợp là các bài toán hay và được nhiều người quan tâm. Trong những đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng thường xuyên xuất hiện những bài toán về hình học tổ hợp. Đó là lý do luận văn này trình bày một số bài toán về hình học tổ hợp. Luận văn “Một số bài toán hình học tổ hợp” được chia làm 3 chương: Chƣơng 1. Trình bày một số lý thuyết về bài toán phủ hình và cách giải những bài toán dạng đó. Chƣơng 2. Trình bày về các bài toán đồ thị, tô màu và một số bài toán thuộc dạng này được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Chƣơng 3. Trình bày về nguyên lý cực hạn và các bài toán hình học tổ hợp sử dụng nguyên lí cực hạn. Mục đích của luận văn là trình bày ngắn họn dễ hiểu lý thuyết về các bài toán : phủ hình, đồ thị, tô màu, bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn và trình bày chi tiết cách giải các bài toán đó. Mặc dù có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu và thực hiện luận văn này nhưng không thể tránh khỏi có sai sót, kính mong được sự góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 4
5. CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN PHỦ HÌNH Bài toán phủ hình là một dạng bài toán có nhiều trong thực tế. Ví dụ như là việc lát vỉa hè, quảng trường, sàn nhà, ... bằng những viên gạch đa giác giống nhau. Câu hỏi được đặt ra ở đây là “Những viên gạch đa giác lồi giống nhau như thế nào thì có thể lát kín được mặt phẳng?”. Mặt phẳng được lấp đầy bởi những đa giác giống nhau sao cho hai đa giác tuỳ ý không có điểm chung, nhưng có thể có chung cạnh chung đỉnh. Từ câu hỏi trên có một số các dạng toán được sinh ra, đó là “Phủ hình bằng mạng lưới ô vuông”, “Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự (hoặc đồng dạng) với chính nó”, ... Dưới đây luận văn sẽ trình bày một số định lí, hệ quả và những bài toán cho dạng bài toán phủ hình như thế. 1.1. Một số lý thuyết cơ sở Một hệ thống vô hạn ô vuông tạo nên mặt phẳng được gọi là mạng lưới đỉnh ô vuông. Các ô vuông đó được gọi là ô vuông cơ sở. Các đỉnh ô vuông là các điểm nguyên (điểm có cả tung độ và hoành độ là các số nguyên) của một hệ trục toạ độ song song với các cạnh hình vuông cơ sở và có đơn vị gốc là độ dài cạnh hình vuông cơ sở. Một đa giác có đỉnh là các đỉnh lưới của mạng ô vuông được gọi là đa giác nguyên. Ta có một tính chất cơ bản của mạng lưới ô vuông là định lí sau Định lí 1. Đa giác đều duy nhất có đỉnh tại các điểm lưới ô vuông là hình vuông. Mạng lưới ô vuông có một ứng dụng khá thực tế đó là sử dụng để tính diện tích các hình phẳng. Ta có các định nghĩa sau Đa giác nguyên : Đa giác có đỉnh là các điểm có toạ độ nguyên. 5
6. Tam giác đơn: Tam giác có các đỉnh có toạ độ nguyên mà không chứa đỉnh nguyên nào bên trong hoặc trên cạnh của nó. Định lí 2. Diện tích của tam giác đơn trên mạng lưới ô vuông đơn vị đúng bằng 1 . 2 Định lí 3. (Định lí Picard) Các đỉnh của một đa giác P có cạnh không tự cắt (không nhất thiết phải lồi) nằm ở các điểm nguyên. Bên trong nó có n điểm nguyên, còn trên biên m điểm nguyên. Khi đó diện tích của nó bằng m S1 n P 2 1.2. Một số bài toán phủ hình Sau đây luận văn trình bày một số bài toán phủ hình. Những bài toán này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2] và [4] mục tài liệu tham khảo. Bài toán 1. Trên một tờ giấy có một vết mực diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ta có thể kẻ carô tờ giấy với các hình vuông đơn vị (cạnh 1) sao cho không có đỉnh của mạng lưới ô vuông nào rơi vào vết mực cả. Giải. Giả sử ta phủ tờ giấy bằng một mạng lưới ô vuông đơn vị bất kì. Sau đó nếu đem cắt các ô vuông đơn vị rời ra và xếp chồng lên nhau. Giả sử phần ô vuông bị thấm mực có thể thấm thẳng qua tất cả các ô vuông đó. Khi đó vì diện tích của vết mực nhỏ hơn 1. Nên trong ô vuông có ít nhất 1 điểm là không bị thấm mực. Ta đánh dấu điểm đó. Ta đem trải các ô vuông đó ra như cũ. Các điểm được đánh dấu như trên sẽ tạo thành một lưới ô vuông phủ tờ giấy mà không có điểm nào trong chúng nằm trong vết mực. Vậy bài toán được giải.  6
7. Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông có diện tích không vượt quá 3 phủ kín ABC . A Giải. Gọi BC là cạnh lớn nhất của tam giác nhon ABC có diện tích bằng R 1. Kẻ trung tuyến AM. Đặt MA = R. D E Vẽ đường tròn (M;R) cắt BC ở D, E. B H M C a Ta có DAE 900 . Các điểm B, C đối xứng nhau qua M, chúng cùng nằm trong đường tròn. Ta chứng minh rằng tam giác vuông ADE là tam giác phải tìm. Rõ ràng ADE phủ , cần chứng minh SADE 3 . Kẻ đường cao AH. Đặt MB = MC = a. Ta có 12S 2 1 S DE..; AH R AH AH ABC ADE 22BC a a R nên S . ADE a R Ta chứng minh 3 . a Thật vậy, trong hai góc AMB, AMC tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 900 , chẳng hạn AMC 900 , do đó AM2 MC 2 AC 2 . Suy ra R2 a 2 AC 2 BC 2 4a 2 R R22 3a 3 . a Vậy tam giác ADE vuông có diện tích không vượt quá 3 phủ kín .  7
8. Bài toán 3. Một khu vực dân cư có hình tứ giác lồi. Tại trung điểm mỗi cạnh tứ giá, người ta đặt một trung tâm phát và nhận sóng. Vùng phát sóng và nhận sóng lớn nhất là hình tròn có đường kính là cạnh đó của tứ giác. Có thể khẳng định rằng toàn bộ khu vực dân cư ấy đều được phủ sóng hay không? Giải. A Giả sử có điểm M nằm trong khu B dân cư có hình tứ giác lồi ABCD mà không bị phủ bởi hình tròn nào như M hình vẽ. C D Lúc đó do M nằm ngoài cả 4 đường tròn có đường kính AB, BC, CD, DA nên AMB 900 , BMC 90 0 , CMD 90 0 , DMA 90 0 . Suy ra tổng bốn góc trên nhỏ hơn 3600 , vô lí. Vậy không tồn tại điểm M như thế. Hay có thể khẳng định là khu dân cư ấy đều được phủ sóng.  Bài toán 4. Cho 100 điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng có khoảng cách không quá 1, ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác tù. Chứng minh 1 rằng tồn tại một hình tròn có bán kính phủ 100 điểm đã cho. 2 Giải. Gọi A, B là hai điểm có khoảng cách lớn nhất trong 100 điểm đã cho, ta có AB 1. Vẽ đường tròn có đường kính AB, hình tròn này có bán kính không quá . Ta chứng minh rằng hình tròn đó chứa mọi điểm đã cho. 8
9. Thật vậy, vẽ hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B tạo thành một dải. Nếu tồn tại một điểm C đã cho nằm ngoài dải thì hoặc BC > AB hoặc AC > AB, trái với cách chọn hai điểm A, B. Nếu tồn tại một điểm C đã cho nằm trên dải và nằm ngoài hình tròn thì ABC không có góc tù, trái với đề bài.  Bài toán 5. Cho bốn điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ tất cả bốn điểm ấy bởi một hình tròn có đường kính không quá 2 . Giải. Ta sẽ chứng minh rằng trong bốn điểm đã cho, tồn tại hai điểm có khoảng cách lớn hơn . Xét ba trường hợp : a) Bốn điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ giác lồi. Tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 900 , chẳng hạn A. Ta sẽ chứng minh BC 2 . Thật vậy, do A 900 nên BC2 AB 2 AC 2 1 1 2. Vậy . b) Ba điểm (chẳng hạn A, B, C) là đỉnh của một tam giác, điểm thứ tư D nằm trong hoặc trên biên. Nếu D nằm trên biên của tam giác, chẳng hạn D nằm giữa A và C thì AD > 1, DC > 1 nên AC > 2 > 2 . 9
10. Nếu D nằm trong ABC thì trong ba góc ADB,, BDC CDA, tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 1200 , giả sử CDA 1200 . Dễ thấy AC 2 . c) Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Bài toán hiển nhiên đúng.  Bài toán 6. Cho một đa giác đơn (không nhất thiết lồi) có chu vi 12. Chứng minh rằng có thể phủ kín đa giác bởi một hình tròn có bán kính 3. Giải. Gọi A, B là hai điểm thuộc biên của đa giác chia chu vi của đa giác thành hai phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài 6. Ta có AB < 6. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ hình tròn (O ; 3), ta sẽ chứng minh rằng hình tròn này phủ kín đa giác. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại điểm C thuộc biên của đa giác mà nằm ngoài đường tròn thì OC > 3. Điểm C chia biên của đường gấp khúc từ A đến B thành hai phần có độ dài m, n. Thế thì AC m, CB n nên AC + CB m + n = 6 (1) Mặt khác, lấy C' đối xứng với C qua O, ta có : AC + CB = AC + AC' CC' > 6 (2) Dễ thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy mọi điểm của đa giác đều thuộc hình tròn (O ; 3).  10