Luận văn Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte-Carlo

Nội dung tài liệu: Luận văn Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte-Carlo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, 2014
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ NGỌC HÀ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Hoàng Oanh Hà Nội, 2014
3. LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và quá trình thực hiện luận văn này. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường. Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập. Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 8 tháng 01 năm 2015 Học viên Vũ Ngọc Hà
4. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG – HÌNH MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ ..... 2 1.1. Vật lý thống kê ...................................................................................... 2 1.2. Các mô hình Vật lý thống kê .................................................................. 4 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP ........................................ 6 MONTE CARLO ......................................................................................... 6 2.1.Giới thiệu ............................................................................................... 6 2.2. Tích phân Monte Carlo .......................................................................... 7 2.3. Ước lượng sai số.................................................................................... 9 2.4. Số ngẫu nhiên ........................................................................................ 9 2.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên ......................................................................... 9 2.4.2. Phân bố xác suất ............................................................................... 11 2.5. Lấy mẫu điển hình ............................................................................... 13 2.6. Chuỗi Markov ..................................................................................... 14 CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO ........................................ 15 3.1. Mô hình Ising ...................................................................................... 15 3.1.1. Xây dựng thuật toán và chương trình ................................................ 15 3.1.2. Chạy chương trình ............................................................................ 17 3.2. Mô hình XY 2D ................................................................................... 27 KẾT LUẬN ................................................................................................ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 32 PHỤ LỤC .................................................................................................. 33
5. DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 3.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β.......................................... 24 Danh mục hình Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ ................................................................. 12 Hình 3.1. Quá trình tiến tới cân bằng ................................................................... 18 Hình 3.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta ........... 19 Hình 3.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha ............................................................... 20 Hình 3.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) .......................................... 21 Hình 3.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[7] ..................... 22 Hình 3.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) ................. 23 Hình 3.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ................ 23 Hình 3.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ ............................................. 25 Hình 3.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[8] ... 26 Hình 3.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising .............. 26 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của mật độ độ từ hóa theo các bước nâng cấp cấu hình ... 27 Hình 3.9. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo các bước nâng cấp cấu hình 28 Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ ........................................... 29 Hình 3.11. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo nhiệt độ ............................ 29
6. MỞ ĐẦU Ngày nay việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê là vô cùng phổ biến, đặc biệt là sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp giải toán trên máy tính bằng cách sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này có vị trí hết sức quan trọng trong vật lý tính toán, như việc tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh, Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê, cụ thể là các bước của quá trình sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp số quan trọng nhất và được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê. Mục đich của luận văn :  Xây dựng các chương trình mô phỏng mô hình Ising 2D trong Vật lý thống kê sử dụng thuật toán Heat bath và Metropolis bằng ngôn ngữ Scilab.  Sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần. So sánh với kết quả tính toán giải tích của Lars Onsager trong tài liệu trích dẫn.  Mô phỏng hiện tượng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising 2D, so sánh với kết quả thực nghiệm của B. Yurke et. al trong tài liệu trích dẫn.  Dựa trên các kết quả thu được, xây dựng chương trình mô phỏng cho mô hình XY. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương: Chương 1:Giới thiệu về các mô hình vật lý thống kê Chương 2:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo Chương 3:Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo 1
7. CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1. Vật lý thống kê Các bài toán Vật lý thống kê [1, 2] chủ yếu tính toán tính chất Vật lý của các hệ môi trường đậm đặc. Điểm khó khăn nhất khi thực hiện các tính toán với các hệ Vật lý này là chúng bao gồm rất nhiều phần hợp thành như phân tử và nguyên tử. Những hợp phần này thường là giống nhau hoặc khác nhau rất ít và chúng thường tuân theo các quy luật chuyển động đơn giản sao cho biểu hiện của cả hệ được biểu diễn theo một quy luật toán học rõ ràng. Tuy nhiên số lượng các phương trình cần phải giải, bằng cỡ của các hợp phần của hệ, là rất lớn nên không thể giải được chúng một cách chính xác. Ví dụ xét một khối khí được chứa trong bình. Một lít khí Oxy tại nhiệt độ và áp suất chuẩn bao gồm 3x1022 phân tử Oxy. Các phân tử này liên tục di chuyển, va chạm với nhau và với thành bình chứa. Đây là một ví dụ về hệ nhiều vật hợp phần. Ta thậm chí có thể xét một ví dụ hệ có kích thước lớn hơn nữa với bầu khí quyển của trái đât. Một lít không khí tại cùng điều kiện chứa cùng một số lượng phân tử nhưng chúng là một hỗn hợp của Oxy, Nitơ, CO2 và một số thứ khác. Bầu khí quyển của Trái đất bao gồm 4x1021 lít không khí hay khoảng 1x1044 phân tử. Tất cả những phân tử này liên tục chuyển động, va chạm với nhau, với mặt đất, cây cối, nhà cửa, con người, v.v. Rõ ràng là không khả thi khi giải hệ các phương trình Hamilton cho mỗi phân tử này bởi vì có quá nhiều phương trình cần phải giải. Tuy nhiên nếu chúng ta nghiên cứu các tính chất vĩ mô của khối khí, chúng vẫn có những biểu hiện có thể tiên đoán được. Như vậy các nghiệm của các phương trình riêng rẻ có một tính chất đặc biệt là trung bình của chúng có thể cho các tiên đoán về sự vận động của cả hệ. Ví dụ áp suất và nhiệt độ của một khối khí tuân theo những quy luật đơn giản mặc dù chúng đều là các đại lượng đo đặc trung bình trên cả khối khí. Vật lý thống kê không hướng tới việc giải từng phương trình chuyển động riêng lẻ mà tập trung vào tính toán những tính chất của cả hệ thống kê bằng cách sử dụng các mô hình xác suất. Thay vì tìm nghiệm chính xác, chúng ta 2
8. tìm các xác suất để cả hệ thống kê nằm ở một trong các trạng thái khả dĩ và vì thế có các đại lượng Vật lý vĩ mô nhận các giá trị tương ứng với trạng thái đó. Hình thức luận điển hình thường được sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống kê là hình thức luận Hamilton với hệ thống kê được chi phối bởi một Hamiltonian H cho ta tổng năng lượng của hệ thống kê. Khi hệ thống kê là hữu hạn, chúng ta sẽ làm việc với các tập hợp trạng thái rời rạc với mỗi trạng thái có giá trị năng lượng có giá trị E0, E1, E2,... với E0 là trạng thái cơ bản. Tuy nhiên Vật lý thống kê nói chung và phương pháp Monte Carlo nói riêng có khả năng giải các bài toán có phổ năng lượng là liên tục. Nếu chỉ xét đến đây, bài toán là khá đơn giản khi năng lượng là bảo toàn. Hệ thống kê sẽ có giá trị năng lượng không đổi theo thời gian và vì thế nó sẽ ở trong một trạng thái hoặc chuyển đổi giữa các trạng thái của một tập hợp các trạng thái suy biến có cùng một giá trị năng lượng mãi mãi. Tuy nhiên, thông thường trong các bài toán thực tế sẽ phải xét đến sự tương tác với môi trường bên ngoài. Sự ảnh hưởng của môi trường bên ngoài sẽ đóng vài trò như một nguồn thu nhiệt làm thay đổi giá trị năng lượng của hệ thống kê liên tục cho đến khi nhiệt độ của hệ thống kê được xét dần tiến tới giá trị của nhiệt độ của môi trường. Khi ảnh hưởng của môi trường là nhỏ so với giá trị năng lượng của hệ, chúng ta có thể coi nó như là một ảnh hưởng nhiễu loạn và có thể bỏ qua khi tính toán các giá trị năng lượng của hệ thống kê. Tuy nhiên, ảnh hưởng này sẽ có tác động để hệ luôn luôn có xu hướng thay đổi trạng thái và vì thế có giá trị năng lượng khác. Chúng ta có thể tính toán ảnh hưởng của môi trường bằng cách đưa vào hệ thống kê một động lực – một quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian. Bản chất của động lực sẽ được thể hiện qua dạng nhiễu loạn mà môi trường gây ra trong Hamiltonian tổng cộng. Giả sử hệ thống kê hiện đang ở trong trạng thái u. Chúng ta định nghĩa R(u v)dt là xác suất để hệ thống kê ở trạng thái v sau khoảng thời gian dt. R(u v)dt là xác suất chuyển trạng thái từ u sang v. Xác suất chuyển trạng thái thường được coi là không phụ thuộc vào thời gian. Chúng ta xác định các giá trị xác suất chuyển trạng thái này với tất cả trạng thái v khả dĩ mà hệ thống kê có thể chuyển đến. Sau 3
9. một thời gian dt, hệ thống kê có thể ở một trong các trạng thái khả dĩ với các xác suất khác nhau. Chúng ta cũng định nghĩa một tập hợp các trọng số wu(t) biểu diễn xác suất để hệ thống kê ở trong trạng thái u tại thời điểm t. Vật lý thống kê sẽ tính toán các giá trị trọng số này và chúng sẽ thể hiện toàn bộ những gì chúng ta biết về các trạng thái của hệ thống kê. Chúng ta có thể viết phương trình cơ bản của việc tiến hóa của wu(t) theo các xác suất chuyển trạng thái R(u v)dt: dwu wv t R v u wu t R u v . (1.1) dt v Số hạng đầu tiên trong vế phải của phương trình biểu diễn xác suất để hệ thống kê chuyển đến trạng thái u và số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển từ trạng thái u đến các trạng thái khác. Các xác suất wu(t) sẽ phải tuân theo quy luật:  wu t 1 (1.2) u tại mọi thời điểm t do bất kỳ lúc nào hệ cũng phải ở trong một trạng thái nào đó. Nghiệm của phương trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho chúng ta sự biến đổi của wu theo thời gian. Nếu chúng ta nghiên cứu đại lượng Q nào đó có giá trị Qu trong trạng thái u, chúng ta định nghĩa giá trị kỳ vọng của Q tại thời điểm t với hệ thống kê đang xét là Q Qu wu t (1.3) u Đây chính là một ước lượng (gần đúng) giá trị vĩ mô của Q chúng ta mong đợi sẽ đo đạc được trong thực nghiệm với hệ thống kê đang xét. 1.2. Các mô hình Vật lý thống kê Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3–6] chúng bằng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhưng vẫn giữ được những đặc tính Vật lý đặc thù. Ví dụ khi nghiên cứu các hệ từ tính, nếu một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh chúng ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising với N spin Si tương tác với nhau 4
10. N H I sin g J  Si S j H  Si , Si 1 (1.4) i, j i 1 với spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định hướng của chất sắt từ đang xét. Năng lượng trao đổi J trong (1.4) được giới hạn trong các lân cận gần nhất và H là từ trường (số hạng thứ 2 trong 1.4 biểu diễn năng lượng Zeeman của hệ). Các trường hợp khác khi chất sắt từ có tính bất đẳng hướng theo mặt phằng, spin bị giới hạn nằm trong mặt phẳng xy chúng ta mô hình hóa nó theo XY model: N x x y y x x 2 y 2 H XY J  Si S j Si S j H x  Si , Si Si 1. (1.5) i, j i 1 Và khi spin là đẳng hướng ta sử dụng mô hình Heisenberg: N z x 2 y 2 z 2 H Heisenberg J  S  S H z  Si , Si Si Si 1. (1.6) i, j i 1 Tất nhiên là với sự đa dạng của các vật liệu thực được tạo ra trong phòng thí nghiệm, chúng ta phải chọn lựa các biến thể của các mô hình trên cho phù hợp. Thay vì chọn lựa số trạng thái khả dĩ của spin là 2 như trong (1.4) hay là vô cùng như trong (1.5) và (1.6) ta có thể chọn lựa một giá trị xác định khác. Thay vì chỉ chọn lựa tương tác gần nhất, chúng ta mở rộng tương tác trao đổi cho đến lân cận gần thứ hai hoặc gần thứ ba,... Thay vì chọn lựa hoàn toàn đối xứng như trong (1.6) ta có thể bổ sung thêm các số hạng đơn trục hoặc đơn diện. Thay vì năng lượng trao đổi J nhận giá trị hằng số trên các nút mạng nó có thể nhận các giá trị ngẫu nhiên Jij. Từ trường Hi cũng có thể nhận các giá trị năng lượng ngẫu nhiên. Như vật 3 mô hình (1.4) đến (1.6) chỉ là 3 mô hình điển hình mà dựa trên chúng ta có thể có được vô số biến thể phù hợp với bài toán Vật lý ta quan tâm. 5