Luận văn Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

Nội dung tài liệu: Luận văn Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HOÀNG OANH Hà Nội – 2015
3. LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và quá trình thực hiện luận văn này. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường. Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập. Công trình này được hỗ trợ một phần bởi đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê bằng phương pháp Monte - Carlo trên hệ thống tính toán không đồng nhất sử dụng GPGPU hiệu năng cao". Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 4 tháng 01 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thuần
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO .................. 4 1.1.Giới thiệu .......................................................................................................... 4 1.2.Tích phân Monte Carlo ................................................................................... 5 1.4.Số ngẫu nhiên ................................................................................................... 7 1.5. Lấy mẫu điển hình ........................................................................................ 11 1.6. Chuỗi Markov ............................................................................................... 11 CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING .... 12 2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình ........................................................ 12 2.2. Chạy chƣơng trình ........................................................................................ 15 CHƢƠNG III. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH XY ........ 24 3.1.Thuật toán ...................................................................................................... 24 3.2. Đƣa hệ về cân bằng nhiệt. ............................................................................ 25 3.3. Chuyển pha KT định tính. ........................................................................... 30 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 45 PHỤ LỤC ................................................................................................................. 47
5. DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 2.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β ............................................. 21 Danh mục hình Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ ...................................................................... 10 Hình 2.1. Quá trình tiến tới cân bằng ........................................................................ 15 Hình 2.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta .............. 16 Hình 2.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha .................................................................... 17 Hình 2.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) .............................................. 18 Hình 2.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] ....................... 19 Hình 2.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) .................... 20 Hình 2.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ................... 20 Hình 2.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ ................................................. 22 Hình 2.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[14] .... 23 Hình 2.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising ................. 23 Hình 3.1. Độ lớn của độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 ....................................... 26 Hình 3.2. Năng lượng của lưới L = 32, T = 0.10 ...................................................... 26 Hình 3.3. Góc pha spin của lưới L = 32, T = 0.10 .................................................... 27 Hình 3.4. Bình phương độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 .................................... 27 Hình 3.5. Năng lượng, L = 32, T = 0.01. .................................................................. 28 Hình 3.6. Độ lớn của độ từ hóa. L = 32, T = 0.01. .................................................... 29 Hình 3.7. Năng lượng trung bình trên từng spin. L = 32, T = 0.02. ......................... 29 Hình 3.8. Cấu hình spin giả bền. L = 32, T = 0.10. .................................................. 31 Hình 3.9. Cấu hình spin L = 32, T = 0.01. ................................................................ 32 Hình 3.10. Cấu hình spin. L = 32, T = 0.50. ............................................................. 32 Hình 3.11 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.70. .............................................................. 33 Hình 3.12 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.80 . ............................................................. 33 Hình 3.14. Cấu hình spin. L = 32, T = 1.00. ............................................................. 34 Hình 3.15. Cấu hình spin. L = 32, T = 2.50. ............................................................. 35
6. Hình 3.16. Độ lớn của độ từ hóa trên mỗi spin trong vùng nhiệt độ rất thấp với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin. L = 32. ..................................................................... 36 Hình 3.17. Độ cảm từ của vài hệ với kích thước khác nhau. .................................... 37 Hình 3.18 Năng lượng của hệ trên mỗi spin. L = 32. ............................................... 37 Hình 3.19. Nhiệt dung riêng. Hệ L = 32. .................................................................. 38 Hình 3.20 Bình phương của độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng spin. L = 32. ...................................................................................................... 39 Hình 3.21 ................................................................................................................... 40 Hình 3.22. Bình phương góc pha của spin được đo tham chiếu với tổng độ từ hóa tức thời. L = 32. ......................................................................................................... 40 Hình 3.23. Xuất xoắn cho một vài hệ. Các phép đo liên tiếp được sử dụng, sai số chưa được ướng lượng chính đáng. ........................................................................... 42 hình 3.24. Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32. ..................................... 42
7. MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha đã xuất hiện vào những năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay các hiện tượng chuyển pha luôn được các nhà lý thuyết và thực nghiệm quan tâm. Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau, từ vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, đến Vũ trụ học bằng nhiều phương pháp khác nhau, gần đây là phương pháp số dựa trên cơ sở của máy tính hiện đại, cụ thể là phương pháp Monte Carlo dựa trên việc sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi có vai trò quan trọng trong vật lý tính toán, như tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh, Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu Sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê như mô hình I sing và mô hình XY. Mục đích của luận văn : tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY. Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và kết luận. Chương 1:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: i/ Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính; ii/ Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn) 1
8. Chương 2: Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình Ising Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị 1 Z exp  1 S S  S e  H I sin g 2 D   x y  x  { S 1 } 2 x , y x { S 1 } x x Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] đã tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại  c ln 1 2 0.88137 . Thuật toán i, Khởi tạo chương trình; - Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên - Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ - Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,... ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath; iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc; iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê. Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa: 1 M S .  j V j Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau từ 0.5 đến 1,5 với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi tìm được điểm chuyển pha là 0.88 phù hợp với kết quả của Onsager. Chương 3:Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình XY Mô hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ các cấu hình cân bằng của hệ theo phân bố Boltzmann và thuật toán Heatbath với cách chọn spin ngẫu nhiên. Đo đạc trên một hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải ở trạng thái cân bằng. Hệ ở đây là mô hình XY hai chiều, thông qua các phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc chuỗi Markov từ cấu hình theo phân bố bất kỳ về trạng thái cân bằng tuân theo phân 2
9. bố Boltzmann cũng chính là phân bố mà chuỗi Markov hội tụ về sau một khoảng thời gian nào đó.Chúng tôi thực hiện làm nóng đột ngột để đưa hệ về cân bằng trong mọi phép đo. Chúng tôi xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless trong mô hình XY. Chuyển pha KT trong mô hình XY hai chiều là giữa hai pha nhiệt. Một pha ở nhiệt độ thấp không có các xoáy (dương hoặc âm) hoặc có thì các xoáy này ko tồn tại tự do mà đi theo cặp xoáy âm - xoáy dương và liên kết chặt chẽ.Một pha khác ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ nào đó TKT - nhiệt chuyển pha KT, trong pha này các xoáy âm dương xuất hiện ngày càng nhiều theo sự tăng của nhiệt độ. Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless xác định tại T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294. Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả thu được và thảo luận. 3
10. CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO 1.1.Giới thiệu Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo. Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện. Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0<x<1 và 0<y<1. Điểm M nằm trong hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1. Diện tích hình tròn có bán kính R=1 là S = R2 = còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để 4