Luận văn Phương pháp hàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số

Nội dung tài liệu: Luận văn Phương pháp hàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN ------------------ NGUYỄN VĂN DŨNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SÈ NGƯỢC ĐỂ XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SÈ Chuy¶n ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP M¢ sè: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nëi - N«m 2013
2. Mục lục Lời nói đầu 3 B£ng k½ hi»u 5 1 Ki¸n thùc chu©n bị 6 1.1 Kh¡i ni»m hàm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đồ thị hàm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 T½nh đơn đi»u cõa hàm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Điều ki»n đủ cho t½nh đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm sè ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Đồ thị cõa hàm sè ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Điều ki»n đủ để mët hàm sè có hàm sè ngược . . . . . . . . . . 9 1.3.4 V½ dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Phương tr¼nh đ¤i sè mët ©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Nghi»m cõa phương tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 V½ dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Phương tr¼nh tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Ph²p bi¸n đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Phương tr¼nh h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2 Ph²p bi¸n đổi h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Phương tr¼nh vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.2 V½ dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 X¥y dựng mët sè phương tr¼nh đại sè gi£i b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược 14 2.1 Cơ sở cõa vi»c vªn dụng phương ph¡p hàm ngược vào x¥y dựng phương tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1
3. 2.2 Mët sè d¤ng phương tr¼nh đại sè mà có thº gi£i b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 D¤ng thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 D¤ng thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3 D¤ng thù ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4 D¤ng thù tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.5 D¤ng thù n«m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 C¡c bước thực hi»n khi gi£i phương tr¼nh b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 C¡c bài to¡n li¶n quan 20 K¸t luªn 67 Tài li»u tham kh£o 68 2
4. Lời nói đầu Hàm sè giú mët vị tr½ trung t¥m trong chương tr¼nh to¡n ở trường phê thông. Học sinh nhªn bi¸t định nghĩa và n­m mët sè t½nh ch§t cơ b£n cõa hàm sè ở cuèi c§p Trung học cơ sở, khi học To¡n ở bªc Trung học phê thông kh¡i ni»m hàm sè được d¦n hoàn thi»n và khi có công cụ mới là đạo hàm để nghi¶n cùu hàm sè th¼ học sinh đã có qui tr¼nh để kh£o s¡t được c¡c hàm sè cơ b£n. B¶n c¤nh vi»c kh£o s¡t được c¡c hàm sè cơ b£n, đối với học sinh kh¡, giỏi có thº gñi ý, hướng d¨n để học sinh n­m vúng c¡c t½nh ch§t cõa hàm sè, ùng dụng chúng trong gi£i quy¸t mët sè bài to¡n kh¡c. Vi»c n­m vúng c¡c t½nh ch§t cõa hàm sè cũng giúp gi¡o vi¶n có c¡ch nh¼n toàn di»n v· hàm sè và khai th¡c được mèi li¶n h» giúa hàm sè với mët sè bài to¡n li¶n quan, đồng thời có thº s¡ng t¤o ra c¡c bài to¡n mới. V§n đề gi£i phương tr¼nh đại sè nói chung và phương tr¼nh vô tỷ nói ri¶ng, chúng ta đã bi¸t đến mët sè c¡ch gi£i kh¡c nhau như: ph²p bi¸n đổi tương đương, ph²p dùng ©n phụ, ph²p dùng bi¸n đêi li¶n hñp, phương ph¡p đánh gi¡. . . Tuy nhi¶n với méi phương ph¡p gi£i thường ch¿ tèi ưu với tøng trường hñp cụ thº. Mặt kh¡c khi đi s¥u nghi¶n cùu v· hàm sè ngược cõa mët hàm sè, tôi đã nhªn th§y có sự li¶n quan mªt thi¸t giúa sự tương giao cõa hai hàm sè ngược nhau với sè nghi»m cõa mët phương tr¼nh vô tỷ mà có hai v¸ là hai hàm sè ngược nhau. Do vªy vi»c gi£i c¡c phương tr¼nh vô tỷ b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược là mët v§n đề mới và c¦n t¼m hiºu. Mặc dù là mët phương ph¡p mới, xong khi đã n­m vúng được mèi quan h» giúa chúng th¼ phương ph¡p này kh¡ hi»u qu£. Trong c¡c đề thi Đại học và thi chọn học sinh giỏi bài to¡n d¤ng này cũng luôn được khai th¡c. Với mong muèn ¡p dụng nhúng ki¸n thùc đã học trong chương tr¼nh phê thông và t¼m hiºu s¥u th¶m phương ph¡p gi£i to¡n sơ c§p n¶n tôi m¤nh d¤n chọn đ· tài nghi¶n cùu cho luªn v«n tèt nghi»p cõa m¼nh là: “Phương ph¡p hàm sè ngược để x¥y dựng và ph¡t triºn phương tr¼nh đại số”. 3
5. B£n luªn v«n gồm ba chương, lời nói đầu và k¸t luªn. Chương 1. Ki¸n thùc chu©n bị: Nhi»m vụ cõa chương này là h» thèng l¤i mët sè ki¸n thùc cơ b£n nh§t v· hàm sè và phương tr¼nh đại sè làm ti·n đề để x¥y dựng nëi dung cõa chương 2. Chương 2. X¥y dựng mët sè phương tr¼nh đại sè gi£i b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược: Trong chương này t¡c gi£ đi x¥y dựng cơ sở cõa vi»c ¡p dụng hàm sè ngược vào gi£i to¡n, đồng thời x¥y dựng và gi£i quy¸t n«m bài to¡n têng qu¡t cõa phương tr¼nh đại sè mà gi£i b¬ng phương ph¡p hàm sè ngược. Chương 3. C¡c bài to¡n li¶n quan: Trong chương này giới thi»u c¡c bài to¡n cụ thº minh họa cho c¡c bài to¡n têng qu¡t đã đề cªp đến ở chương 2. Sau méi bài to¡n minh họa, t¡c gi£ đã có nhúng nhªn x²t v· c¡ch gi£i cũng như s¡ng t¡c mët phương mới tø mët phương tr¼nh đã bi¸t. Để hoàn thành b£n luªn v«n này, tôi xin ch¥n thành c£m ơn tới người th¦y k½nh m¸n PGS.TS Nguy¹n Minh Tu§n đã dành nhi·u thời gian hướng d¨n, ch¿ d¤y trong suèt thời gian x¥y dựng đề tài cho đến khi hoàn thành luªn v«n. Tôi cũng xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành tới c¡c th¦y cô gi¡o trong khoa To¡n – Cơ – Tin học, Ban gi¡m hi»u, Pháng sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã t¤o điều ki»n thuªn lñi trong suèt thời gian học tªp t¤i trường. Mặc dù đã có nhi·u cè g­ng nhưng do thời gian và n«ng lực cán h¤n ch¸ n¶n b£n luªn v«n không tr¡nh khỏi c¡c thi¸u sót, r§t mong được c¡c th¦y cô và c¡c b¤n góp ý x¥y dựng. Tôi xin ch¥n thành c£m ơn. Hà Nëi, ngày 18 th¡ng 11 n«m 2013 Học vi¶n Nguy¹n V«n Dũng 4
6. B£ng c¡c k½ hi»u vi¸t t­t R tªp c¡c sè thực. R∗ tªp c¡c sè thực kh¡c 0: R+ tªp c¡c sè thực dương. R− tªp c¡c sè thực ¥m. N tªp c¡c sè tự nhi¶n. N∗ tªp c¡c sè tự nhi¶n kh¡c 0: Z tªp c¡c sè nguy¶n. Z+ tªp c¡c sè nguy¶n dương. Z− tªp c¡c sè nguy¶n ¥m. 5
7. Chương 1 Ki¸n thùc chu©n bị 1.1 Kh¡i ni»m hàm sè 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho mët tªp hñp kh¡c réng D ⊂ R. Hàm sè f x¡c định tr¶n D là mët quy t­c đặt tương ùng méi sè x thuëc D với mët và ch¿ mët sè, k½ hi»u là f(x); sè f(x) được gọi là gi¡ trị cõa hàm sè f t¤i x. Vªy hàm sè là mët ¡nh x¤ tø tªp con D cõa R vào R và vi¸t f : D ! R x 7! f(x): • Tªp D được gọi là tªp x¡c định (hay mi·n x¡c định), x được gọi là bi¸n sè hay đối sè cõa hàm f. • Tªp hñp t§t c£ c¡c gi¡ trị f(x) khi x ch¤y qua D được gọi mi·n gi¡ trị cõa hàm sè f. • Khi vi¸t y = f(x) th¼ x được gọi là bi¸n sè độc lªp, y gọi là bi¸n sè phụ thuëc. 1.1.2 Đồ thị hàm sè Định nghĩa 1.2. Đồ thị cõa hàm sè y = f(x) x¡c định tr¶n D là tªp hñp t§t c£ c¡c điểm M(x; f(x)) tr¶n mặt ph¯ng tọa độ với mọi x thuëc D. 1.2 T½nh đơn điệu cõa hàm sè 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3. Cho hàm sè y = f(x) x¡c định tr¶n kho£ng (a; b). 6
8. a) Hàm sè y = f(x) được gọi là đồng bi¸n (t«ng) tr¶n (a; b) n¸u 8x1; x2 2 (a; b): x1 < x2 ) f(x1) < f(x2): b) Hàm sè y = f(x) được gọi là nghịch bi¸n (gi£m) tr¶n (a; b) n¸u 8x1; x2 2 (a; b): x1 f(x2): Chú ý 1.1. Hàm sè đồng bi¸n hoặc nghịch bi¸n tr¶n (a; b) được gọi chung là hàm sè đơn điệu tr¶n (a; b). 1.2.2 Điều ki»n đủ cho t½nh đơn điệu Định l½ 1.1. Cho hàm sè y = f(x) có đạo hàm tr¶n K. a) N¸u f 0(x) > 0 với mọi x thuëc K th¼ hàm sè y = f(x) đồng bi¸n tr¶n K. b) N¸u f 0(x) < 0 với mọi x thuëc K th¼ hàm sè y = f(x) nghịch bi¸n tr¶n K. Sau đây ta có mët định l½ mở rëng cho định l½ tr¶n như sau: Định l½ 1.2. Cho hàm sè y = f(x) có đạo hàm tr¶n K. a) N¸u f 0(x) ≥ 0; 8x 2 K và f 0(x) = 0 ch¿ t¤i mët sè húu h¤n điểm th¼ hàm sè y = f(x) đồng bi¸n tr¶n K. b) N¸u f 0(x) ≤ 0; 8x 2 K và f 0(x) = 0 ch¿ t¤i mët sè húu h¤n điểm th¼ hàm sè y = f(x) nghịch bi¸n tr¶n K. 1.3 Hàm sè ngược 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4. Cho hàm sè f có tªp x¡c định là D(f) và có tªp gi¡ trị là V (f). Hàm sè g x¡c định tr¶n V (f) được gọi là hàm sè ngược cõa hàm sè f n¸u (f0g)(x) = x; 8x 2 V (f) và (g0f)(x) = x; 8x 2 D(f): Nhªn x²t 1.1. Tø định nghĩa tr¶n ta có nhªn x²t sau a) N¸u hàm sè y = f(x) là hàm sè ngược cõa hàm sè y = g(x) th¼ hàm sè y = g(x) cũng là hàm sè ngược cõa hàm sè y = f(x). b) N¸u y = f(x) và y = g(x) là hai hàm sè ngược nhau th¼ tªp x¡c định cõa hàm sè này là tªp gi¡ trị cõa hàm sè kia và ngược l¤i. 7
9. 1.3.2 Đồ thị cõa hàm sè ngược Định l½ 1.3. Trong h» tọa độ Oxy đồ thị cõa hai hàm sè ngược nhau y = f(x) và y = g(x) là đối xùng với nhau qua đường ph¥n gi¡c cõa góc ph¦n tư thù nh§t y = x. Chùng minh. X²t hàm sè f(x) có tªp x¡c định là D(f), có tªp gi¡ trị là V (f) và có đồ thị là G(f). Gi£ sû f có hàm sè ngược là g. X²t điểm M(a; b) và điểm M 0(b; a) đối xùng với M qua đường th¯ng y = x. H¼nh 1.1: Ta có: M 2 G(f) , b = f(a) , g(b) = g(f(a)) , g(b) = a , M 0 2 G(g): Điều này chùng tỏ đồ thị hàm sè y = f(x) và y = g(x) đối xùng nhau qua đường th¯ng y = x. H» qu£ 1.1. Hai hàm sè y = f(x) và y = g(x) là hai hàm sè ngược nhau th¼ giao điểm (n¸u có) cõa hai đồ thị hàm sè y = f(x) và y = g(x) n¬m tr¶n đường th¯ng y = x. H¼nh 1.2: 8
10. 1.3.3 Điều ki»n đủ để mët hàm sè có hàm sè ngược Định l½ 1.4. Mọi hàm sè đồng bi¸n hay nghịch bi¸n tr¶n tªp K đều có hàm sè ngược. Chùng minh. Gi£ sû hàm sè y = f(x) x¡c định và đồng bi¸n tr¶n K và có tªp gi¡ trị tương ùng là T . Do T là tªp gi¡ trị cõa y = f(x) n¶n với mọi y 2 T đều tồn t¤i x 2 K để có f(x) = y. B¥y giờ ta đi chùng minh x là duy nh§t. Thªt vªy, ta gi£ sû tồn t¤i x0 2 K; x 6= x0 mà f(x0) = y. Khi đó, x©y ra hai trường hñp: a) N¸u x > x0, ta suy ra f(x) > f(x0) , y > y điều này là vô lý. b) N¸u x < x0, ta suy ra f(x) < f(x0) , y < y điều này là vô lý. Hai trường hñp tr¶n đều vô lý, n¶n tồn t¤i duy nh§t x 2 K để f(x) = y. Do đó theo định nghĩa cõa hàm sè ngược, ta suy ra hàm sè y = f(x) có hàm sè ngược. Nhªn x²t 1.2. Trường hñp hàm sè nghịch bi¸n được chùng minh tương tự. 1.3.4 V½ dụ V½ dụ 1.1. Hàm sè x − 1 g(x) = 2 là hàm sè ngược cõa hàm sè f(x) = 2x + 1, v¼ f(g(x)) = 2g(x) + 1 = x; và f(x) − 1 g(f(x)) = = x: 2 V½ dụ 1.2. Hàm sè f(x) = 2x3 + 1 có hàm sè ngược là r x − 1 g(x) = 3 2 v¼ f(g(x)) = 2g3(x) + 1 = x; và r 3 f(x) − 1 g(f(x)) = = x: 2 9