Luận văn Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

Nội dung tài liệu: Luận văn Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN ----------------------- NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÆNG GIAN BANACH Chuy¶n ngành: TOÁN GIẢI TÍCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nëi – N«m 2013
2. Mục lục MÐ ĐẦU 2 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Đại cương v· không gian Banach và lý thuy¸t to¡n tû . . . . . . . 5 1.2 Đạo hàm và t½ch ph¥n cõa hàm nhªn gi¡ trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Nûa nhóm li¶n tục m¤nh t¡c động tr¶n không gian Banach . . . . 18 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÆNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra và Định lý Bielecki . . . . . . . . 21 2.2 Phương ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Mët sè v½ dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÆNG GIAN BA- NACH 35 3.1 Phương tr¼nh vi ph¥n với v¸ ph£i li¶n tục . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Phương tr¼nh vi ph¥n têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Phương tr¼nh vi ph¥n autonomous và non-autonomous . . 36 3.2 Phương tr¼nh vi ph¥n với v¸ ph£i không li¶n tục . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Phương tr¼nh vi ph¥n autonomous . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Phương tr¼nh vi ph¥n non-autonomous . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ên định mũ đều cõa nghi»m cõa phương tr¼nh vi ph¥n . . . . . . 55 3.3.1 Ên định mũ đều cõa nghi»m cõa phương tr¼nh thu¦n nh§t 55 3.3.2 Ên định mũ đều cõa nghi»m cõa phương tr¼nh không thu¦n nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 KẾT LUẬN ................................. 79 Tài li»u tham kh£o ............................. 80 1
3. MÐ ĐẦU Phương tr¼nh vi ph¥n trong to¡n học đưñc xu§t hi»n tø đời sèng thực ti¹n cũng như tr¶n cơ sở ph¡t triºn cõa c¡c khoa học kh¡c nhau, bao gồm c£ khoa học tự nhi¶n và khoa học x¢ hëi. Mët phương tr¼nh vi ph¥n là mët k¸t qu£ cõa vi»c mô t£ (b¬ng to¡n học) c¡c hi»n tượng chuyºn động cõa vªt thº, qu¡ tr¼nh sinh trưởng và ph¡t triºn cõa c¡c loài sinh vªt... Mët v½ dụ điển h¼nh cho phương tr¼nh vi ph¥n đó là định luªt II Newton v· chuyºn động cõa mët vªt thº, dx m: (t) = F (t); (1) dt trong đó h¬ng sè m là khèi lượng cõa vªt thº, x(t) là vªn tèc cõa vªt thº t¤i thời dx điểm t, dt (t) = a(t) là gia tèc t¤i thời điểm t cõa vªt thº và F (t) là lực hén hñp t¡c động vào vªt thº t¤i thời điểm t. Thông thường, lực hén hñp F (t) cán phụ thuëc vào c£ vªn tèc x(t) núa. Vªy 1 phương tr¼nh (1), với f(t; x) = m F (t; x), được vi¸t l¤i thành dx (t) = f(t; x(t)): (2) dt Đây ch½nh là mët phương tr¼nh vi ph¥n têng qu¡t c§p mët ©n là hàm x(t). Vi»c nghi¶n cùu phương tr¼nh (2) s³ giúp chúng ta bi¸t được c¡c t½nh ch§t cõa vªn tèc x(t) t¤i thời điểm t b§t kỳ cõa vªt thº. Gi£ sû chúng ta y¶u c¦u th¶m mët điều ki»n cho trước v· vªn tèc t¤i thời điểm ban đầu x(t0) = x0; (3) khi đó với c¡c gi£ thi¸t kỹ thuªt nào đó đặt l¶n cho phương tr¼nh (2) th¼ nó cùng với điều ki»n (3) được chuyºn v· phương tr¼nh Z t x(t) = x0 + f(s; x(s))ds: (4) t0 Phương tr¼nh (4) ch½nh là mët phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra. Như vªy phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra được xu§t hi»n khi nghi¶n cùu phương tr¼nh vi ph¥n tương ùng. 2
4. MÐ ĐẦU C¡c k¸t qu£ thu được cõa lý thuy¸t phương tr¼nh vi ph¥n trong không gian thực cũng đã r§t nhi·u, nhưng không ph£i là têng qu¡t. Vªy n¶n để có k¸t qu£ têng qu¡t, người ta c¦n nghi¶n cùu phương tr¼nh vi ph¥n trong c¡c không gian têng qu¡t hơn. Mët trong sè đó là không gian Banach. Lý thuy¸t phương tr¼nh vi ph¥n trong không gian Banach được b­t nguồn tø công tr¼nh nghi¶n cùu cõa dx Hille và Yosida (1948) v· sự tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh dt = Ax với A là mët to¡n tû không li¶n tục trong không gian Banach, c¡c k¸t qu£ thu được dựa tr¶n ngôn ngú cõa nûa nhóm to¡n tû. N«m 1953 Kato đã nghi¶n cùu thành dx công sự tồn t¤i nghi»m cõa bài to¡n Cauchy cho phương tr¼nh dt = A(t)x với A(t) là c¡c to¡n tû không li¶n tục. Sau đó, trong nhúng bài b¡o cõa m¼nh, Hille, Yosida, Phillips và Kato đã đặt n·n móng cho lý thuy¸t phương tr¼nh vi ph¥n với to¡n tû không li¶n tục. Nó đã trở thành mët lĩnh vực to¡n học độc lªp, thú vị và thu hút được sự quan t¥m cõa nhi·u nhà to¡n học tr¶n th¸ giới. Luªn v«n "Phương tr¼nh vi ph¥n và phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra trong không gian Banach" được chia thành ba chương: Chương 1. Nhúng ki¸n thùc chu©n bị. Chương này nh¬m cung c§p cơ sở lý thuy¸t cho hai chương sau, bao gồm kh¡i ni»m v· không gian Banach và c¡c k¸t qu£ li¶n quan. Sau đó là định nghĩa đ¤o hàm và t½ch ph¥n cõa hàm nhªn gi¡ trị trong không gian Banach. Ti¸p theo là kh¡i ni»m mới và quan trọng, nûa nhóm to¡n tû, nó được sû dụng suèt v· sau. C¡c k¸t qu£ cõa chương này chõ y¸u được tr½ch tø [1], [9] và [10]. Chương 2. Phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra trong không gian Ba- nach. Mục đích cõa chương này là tr¼nh bày v· phương tr¼nh t½ch ph¥n Volterra lo¤i II, ch¿ đưa ra mët phương ph¡p gi£i là phương ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p và mët sè v½ dụ minh họa. Định lý Bielecki được chùng minh r§t "nhẹ nhàng" và nó để ¡p dụng vào chùng minh sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa phương tr¼nh vi ph¥n ở chương sau. C¡c k¸t qu£ chõ y¸u được tr½ch tø [4], [10] và [12]. Chương 3. Phương tr¼nh vi ph¥n trong không gian Banach. Chương này tr¼nh bày c¡c d¤ng phương tr¼nh vi ph¥n bao gồm thu¦n nh§t, không thu¦n nh§t, autonomous, non-autonomous và đưa ra công thùc nghi»m tương ùng. Cuèi cùng là ùng dụng c¡c công thùc nghi»m đó vào nghi¶n cùu t½nh ên định mũ đều cõa nghi»m cõa phương tr¼nh vi ph¥n. C¡c k¸t qu£ chõ y¸u được tr½ch tø [6], [8] và [10]. 3
5. Lời c£m ơn Luªn v«n này được hoàn thành dưới sự hướng d¨n nhi»t t¼nh và nghi¶m kh­c cõa GS.TSKH. Nguy¹n V«n Mªu. Th¦y đã dành nhi·u thời gian hướng d¨n cũng như gi£i đáp c¡c th­c m­c cõa tôi trong suèt qu¡ tr¼nh làm luªn v«n. Tôi muèn bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến th¦y. Qua đây, tôi xin gûi lời c£m ơn s¥u s­c tới quý th¦y cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Đại học Quèc gia Hà Nëi, cũng như c¡c th¦y cô tham gia gi£ng d¤y khóa cao học 2011- 2013, đã có công lao d¤y dé tôi trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i Nhà trường. Tôi xin c£m ơn gia đình, b¤n b± và c¡c b¤n đồng nghi»p th¥n m¸n đã quan t¥m, t¤o điều ki»n và cê vũ, động vi¶n tôi để tôi hoàn thành tèt nhi»m vụ cõa m¼nh. Hà nëi, th¡ng 09 n«m 2013 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n Xu¥n Nghĩa 4
6. Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương v· không gian Banach và lý thuy¸t to¡n tû Trước ti¶n chúng ta đưa ra nhúng sự ki»n cơ b£n nh§t v· không gian metric. Kh¡i ni»m không gian metric Định nghĩa 1.1. Không gian metric là mët tªp X 6= ; cùng với mët hàm sè d : X × X −! R thỏa m¢n ba ti¶n đề sau: • d(x; y) ≥ 0; 8x; y 2 X và d(x; y) = 0 () x = y (t½nh x¡c định dương); • d(x; y) = d(y; x); 8x; y 2 X (t½nh đối xùng); • d(x; y) ≤ d(x; z) + d(z; y); 8x; y; z 2 X (b§t đẳng thùc tam gi¡c). Hàm sè d được gọi là kho£ng c¡ch hay metric tr¶n X. Sè d(x; y) được gọi là kho£ng c¡ch giúa x và y. Không gian metric khi đó được ký hi»u là (X; d). N¸u kho£ng c¡ch d đã rã, th¼ ta ký hi»u ng­n gọi là X: Méi ph¦n tû x 2 X được gọi là mët điểm cõa không gian metric X: Tôpô trong không gian metric Định nghĩa 1.2. Cho d¢y điểm fxng cõa không gian metric (X; d). Ta nói r¬ng (i) D¢y fxng hëi tụ đến điểm x 2 X n¸u d(xn; x) −! 0 khi n −! +1: Khi đó ta ký hi»u xn −! x khi n −! +1 hoặc lim xn = x; và gọi x là n!+1 giới h¤n cõa d¢y fxng: (ii) D¢y fxng là d¢y cơ b£n hay d¢y Cauchy n¸u 8" > 0 9n0 = n0("): 8m; n > n0 =) d (xm; xn) < ": 5
7. Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hoặc tương đương 8" > 0 9n0 = n0("): 8n > n0 =) d (xn+p; xn) < "; 8p = 1; 2;::: Định nghĩa 1.3. Không gian metric đầy đõ là mët không gian metric X mà mọi d¢y Cauchy đều hëi tụ đến mët ph¦n tû cõa X: Định nghĩa 1.4. Cho (X; d) là mët không gian metric, điểm x0 2 X và sè r > 0: (i) H¼nh c¦u mở t¥m x0 b¡n k½nh r là tªp B(x0; r) := fx 2 X : d(x; x0) < rg; (ii) H¼nh c¦u đóng t¥m x0 b¡n k½nh r là tªp B[x0; r] := fx 2 X : d(x; x0) ≤ rg; (iii) L¥n cªn cõa điểm x0 là mët tªp U(x0) chùa h¼nh c¦u mở nào đó t¥m x0; (iv) Tªp G ⊂ X là tªp mở n¸u với mọi a 2 G, tồn t¤i mët l¥n cªn U(a) ⊂ G; (v) Tªp F ⊂ X là tªp đóng n¸u ph¦n bù cõa nó XnF là tªp mở. T½nh ch§t 1.1. Đối với mët không gian metric, chúng ta có (i) Hñp tùy ý c¡c tªp mở là mët tªp mở; (ii) Giao húu h¤n c¡c tªp mở là mët tªp mở; (iii) Hñp húu h¤n c¡c tªp đóng là mët tªp đóng; (iv) Giao tùy ý c¡c tªp đóng là mët tªp đóng. Định nghĩa 1.5. Cho A là mët tªp hñp trong không gian metric X. Khi đó (i) Điểm x 2 X được gọi là điểm trong cõa tªp A n¸u tồn t¤i mët l¥n cªn U(x) cõa x sao cho U(x) ⊂ A; (ii) Tªp hñp c¡c điểm trong cõa A được gọi là ph¦n trong cõa A, ký hi»u int A; (iii) Điểm x 2 X được gọi là điểm d½nh cõa tªp A n¸u mọi l¥n cªn U(x) cõa x đều có giao U(x) \ A 6= ;; (iv) Tªp hñp c¡c điểm d½nh cõa A được gọi là bao đóng cõa tªp A, ký hi»u A; (v) Tªp A được gọi là trù mªt trong X n¸u A = X. 6
8. Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T½nh ch§t 1.2. Cho A là mët tªp trong không gian metric X, chúng ta có (i) A = A () A đóng;   (ii) A = A () 8fxng ⊂ A : xn −! x =) x 2 A ;   (iii) A = X () 8x 2 X 9fxng ⊂ A : xn −! x ;   (iv) A = X () 8x 2 X 8" > 0 9x0 2 A : d(x; x0) < " : Định lý Baire v· ph¤m trù Để ph¡t biºu được Định lý, trước ti¶n chúng ta c¦n vài kh¡i ni»m sau. Định nghĩa 1.6. Cho (X; d) là mët không gian metric và tªp A ⊂ X: (i) Tªp A được gọi là tªp không đâu trù mªt n¸u méi tªp mở U ⊂ X đều tồn t¤i mët h¼nh c¦u mở B ⊂ U có giao B \ A = ;. (ii) Tªp A được gọi là tªp thuëc ph¤m trù thù nh§t n¸u nó có thº biºu di¹n dưới d¤ng hñp cõa mët sè đếm được nhúng tªp không đâu trù mªt. (iii) Tªp A không ph£i là tªp thuëc ph¤m trù thù nh§t được gọi là tªp thuëc ph¤m trù thù hai. M»nh đ· 1.1. Méi tªp đóng không ph£i là tªp không đâu trù mªt đều chùa mët h¼nh c¦u mở. Định lý 1.1 (Định lý Baire v· ph¤m trù). Mọi không gian metric đủ đều là tªp thuëc ph¤m trù thù hai trong ch½nh nó. Kh¡i ni»m không gian Banach và Nguy¶n lý ¡nh x¤ co Định nghĩa 1.7. Không gian (tuy¸n t½nh) định chu©n là mët không gian tuy¸n t½nh X tr¶n trường sè F cùng với mët hàm sè jj · jj : X −! R thỏa m¢n ba ti¶n đề sau: • jjxjj ≥ 0; 8x 2 X và jjxjj = 0 () x = 0 (t½nh x¡c định dương); • jjλxjj = jλj:jjxjj; 8x 2 X; 8λ 2 F (t½nh thu¦n nh§t dương); • jjx + yjj ≤ jjxjj + jjyjj; 8x; y 2 X (b§t đẳng thùc tam gi¡c). Hàm sè jj · jj được gọi là chu©n tr¶n X. Sè jjxjj được gọi là chu©n cõa x và không gian định chu©n khi đó được ký hi»u là (X; jj·jj). N¸u chu©n jj·jj đã rã, th¼ 7
9. Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ta ký hi»u ng­n gọn là X: Méi ph¦n tû x 2 X được gọi là mët điểm hay vector cõa không gian định chu©n X: Khi F = R ta nói (X; jj · jj) là không gian tuy¸n t½nh định chu©n thực. Khi F = C ta nói (X; jj · jj) là không gian tuy¸n t½nh định chu©n phùc. Nhªn x²t 1.1. Không gian tuy¸n t½nh định chu©n (X; jj · jj) là mët không gian metric với kho£ng c¡ch được x¡c định bởi d(x; y) = jjx − yjj; 8x; y 2 X: Do đó t§t c£ c¡c t½nh ch§t cõa không gian metric đều đúng cho không gian tuy¸n t½nh định chu©n. Định nghĩa 1.8. Cho d¢y điểm fxng cõa không gian định chu©n X. Ta nói r¬ng (i) D¢y fxng hëi tụ đến điểm x 2 X n¸u jjxn − xjj −! 0 khi n −! +1: Khi đó ta ký hi»u xn −! x khi n −! +1 hoặc lim xn = x; và gọi x là n!+1 giới h¤n cõa d¢y fxng: (ii) D¢y fxng là d¢y cơ b£n hay d¢y Cauchy n¸u 8" > 0 9n0 = n0("): 8m; n > n0 =) jjxm − xnjj < ": Hoặc tương đương 8" > 0 9n0 = n0("): 8n > n0 =) jjxn+p − xnjj < "; 8p = 1; 2;::: Định nghĩa 1.9. Không gian Banach hay không gian tuy¸n t½nh định chu©n đầy đủ là mët không gian tuy¸n t½nh X mà mọi d¢y Cauchy đều hëi tụ đến mët ph¦n tû cõa X: Trong suèt luªn v«n này khi không nh§n m¤nh g¼ th¶m th¼ ta luôn ng¦m hiºu X là không gian Banach tr¶n trường sè thực hoặc phùc. Định nghĩa 1.10. Mët ¡nh x¤ T đưa không gian Banach X vào ch½nh nó được gọi là ¡nh x¤ co n¸u tồn t¤i mët h¬ng sè L 2 [0; 1) sao cho jjT (x) − T (y)jj ≤ Ljjx − yjj; 8x; y 2 X: Chúng ta có Định lý quan trọng sau đây được Banach đưa ra n«m 1922. Định lý 1.2 (Nguy¶n lý ¡nh x¤ co). Cho X là mët không gian Banach. N¸u ¡nh x¤ T : X −! X là mët ¡nh x¤ co th¼ phương tr¼nh T (x) = x luôn có nghi»m duy nh§t x 2 X: 8
10. Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhªn x²t 1.2. (i) Điểm x thỏa m¢n T (x) = x được gọi là điểm b§t động cõa ¡nh x¤ T: (ii) Nguy¶n lý ¡nh x¤ co được ph¡t biºu m¤nh hơn là: mọi ¡nh x¤ co trong không gian metric đủ đ·u có điểm b§t động duy nh§t. Lý thuy¸t to¡n tû tuy¸n t½nh trong không gian Banach Định nghĩa 1.11. Cho X; Y là hai không gian tuy¸n t½nh tr¶n trường F = R; C: (i) Méi ¡nh x¤ A : DA ⊂ X −! Y được gọi là mët to¡n tû. Khi Y = F ta nói A là mët phi¸m hàm. (ii) Méi ¡nh x¤ A : DA ⊂ X −! Y được gọi là mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh hoặc to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u ba điều ki»n sau được thỏa m¢n: • DA là không gian con cõa X; • A(x + y) = Ax + Ay; 8x; y 2 DA; • A(λx) = λAx, 8x 2 DA; 8λ 2 F: Khi Y = F ta nói A là mët phi¸m hàm tuy¸n t½nh. (iii) Không gian con DA cõa X được gọi là mi·n x¡c định cõa A. Không gian con RA := A(DA) cõa Y được gọi là mi·n gi¡ trị cõa A: Nhªn x²t 1.3. (i) Cho DA là mët không gian con cõa X. Khi đó, to¡n tû A : DA ⊂ X −! Y là to¡n tû tuy¸n t½nh khi và ch¿ khi A(λx + µy) = λAx + µAy; 8x; y 2 DA; 8λ, µ 2 F: (ii) Tø nay v· sau, khi không c¦n nh§n m¤nh, ta thường x²t DA = X: Cho X; Y là hai không gian tuy¸n t½nh định chu©n. Định nghĩa 1.12. Mët to¡n tû tuy¸n t½nh A : X −! Y được gọi là li¶n tục hay bị chặn n¸u tø điều ki»n xn −! x k²o theo Axn −! Ax khi n −! +1: T½nh ch§t 1.3. Mët to¡n tû tuy¸n t½nh A : X −! Y là li¶n tục n¸u và ch¿ n¸u tồn t¤i mët h¬ng sè K > 0 sao cho jjAxjj ≤ Kjjxjj; 8x 2 X: 9