Luận văn Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng với quá khứ không ôtônôm

Nội dung tài liệu: Luận văn Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng với quá khứ không ôtônôm

1. Mục lục Lời nói đầu 1 1 Bài to¡n đặt ch¿nh đối với phương tr¼nh vi ph¥n hàm với qu¡ khù không ôtônôm 3 1.1 Họ ti¸n hóa và to¡n tû li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 To¡n tû sinh và t½nh đặt ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Phê và t½nh hyperbolic cõa phương tr¼nh vi ph¥n ri¶ng với qu¡ khù không ôtônôm 11 2.1 Phê cõa to¡n tû không nhi¹u . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Phê cõa to¡n tû nhi¹u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 C¡c phương tr¼nh vi ph¥n đạo hàm ri¶ng có tr¹ không ôtônôm 20 3.1 T½nh đặt ch¿nh và ên định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 T½nh nhị ph¥n mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K¸t luªn 32 Tài li»u tham kh£o 33
2. MÐ ĐẦU Xu§t ph¡t tø ý tưởng cõa Brendle và Nagel khi nghi¶n cùu v· phương tr¼nh vi ph¥n có tr¹ với nhi¹u d¤ng @ u(t; 0) = Bu(t; 0) + Φu(t; :); t 0 (0.1) @t > @ @ u(t; s) = u(t; s) + A(s)u(t; s); t 0 s (0.2) @t @s > > u(0; s) = u0(s) s 6 0; u0(s) là hàm cho trước: Trong đó, hàm u(:; :) l§y gi¡ trị trong không gian Banach X, B là mët to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n X, và Φ gọi là to¡n tû tr¹, là mët to¡n tû tuy¸n t½nh tø mët không gian c¡c hàm l§y gi¡ trị tr¶n X tr¶n R− vào X. Cuèi cùng, A(s) là mët to¡n tû (không bị chặn) tr¶n X mà đối với nó bài to¡n Cauchy không ôtônôm 8 dx(t) < = −A(t)x(t); t s 0 dt 6 6 (0.3) : x(s) = xs 2 X là đặt ch¿nh với cªn mũ. Cụ thº là tồn t¤i mët họ ti¸n hóa lùi bị chặn mũ U = (U(t; s))t6s60 gi£i (0.3), tùc là nghi»m cõa (0.3) được cho bởi x(t) = U(t; s)x(s) với t 6 s 6 0. Nhúng phương tr¼nh này mô t£ h» với tr¹ (0.1) t¡c động l¶n mët qu¡ khù không otonom (0.2) và đưñc gi£i b¬ng vi»c sû dụng phương ph¡p nûa nhóm trong không gian C0(R−;X) trong [1] hoặc trong không gian p L (R−;X) trong [4] Trong luªn v«n này, ta nghi¶n cùu phương tr¼nh vi ph¥n ri¶ng có tr¹ (DPDE's) với qu¡ khù không ôtônôm (phương tr¼nh (0.1) và (0.2) ở tr¶n) và phương tr¼nh vi ph¥n ri¶ng có tr¹ không ôtônôm (xem phương tr¼nh (3.1) ở dưới). C§u trúc luªn v«n được chia làm 3 chương cùng với ph¦n mở đầu, k¸t luªn và danh mục tài li»u tham kh£o. C¡c k¸t qu£ trong chương 1 và chương 2 được l§y tø [22]. Trong đó, ta sû dụng lý thuy¸t nûa nhóm ti¸n hóa được ph¡t triºn bởi Chicone và Latushkin [2], Schnaubelt [3,chap VI.9] và nhúng người kh¡c (xem [11,13]) để x¡c định mët to¡n tû vi ph¥n trøu tượng G tr¶n C0(R−;X) (xem định nghĩa 2.4). Sau đó ta sû dụng to¡n tû tr¹ Φ (và to¡n tû B) để định nghĩa mët thu hẹp GB;Φ cõa G. Với thu hẹp này ta t½nh to¡n mët c¡ch chi ti¸t gi£i thùc cõa nó và ch¿ ra đánh gi¡ Hille - Yosida. Theo c¡ch này ta thu được mët nûa nhóm (TB;Φ(t))t>0 mà gi£i (0.1) và (0.2) mët c¡ch d¹ dàng 1
3. (xem [1, mục 1 và 2]). Ưu điểm cõa phương ph¡p này là sû dụng mô t£ trực ti¸p cõa c¡c gi£i thùc cõa c¡c to¡n tû sinh nghĩa là thu được c¡c đánh gi¡ ên định rã ràng. Cụ thº là, ta có thº ch¿ ra r¬ng ên định mũ và nhị ph¥n mũ cõa nûa nhóm này, do vªy c¡c nghi»m cõa (0.1) và (0.2) là ên định dưới c¡c sự nhi¹u lo¤n nhỏ cõa to¡n tû tr¹ Φ. C¡c k¸t qu£ trong chương 3 được t¡c gi£ luªn v«n mở rëng c¡c phương ph¡p tr¶n để nghi¶n cùu phương tr¼nh có tr¹ không ôtônôm têng qu¡t. Luªn v«n được hoàn thành dưới sự hướng d¨n khoa học cõa PGS. TS. Nguy¹n Thi»u Huy thuëc khoa: To¡n trường Đại học B¡ch Khoa Hà Nëi. Tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn ch¥n thành đến th¦y v· sự giúp đỡ khoa học mà th¦y đã dành cho tôi và đã t¤o nhúng điều ki»n thuªn lñi nh§t đº tôi hoàn thành luªn v«n. Nh¥n dịp này, tôi cũng xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến c¡c th¦y ph£n bi»n, nhúng người đã đọc và đóng góp ý ki¸n cho tôi để luªn v«n được hoàn thi»n hơn. Tôi cũng xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến c¡c thành vi¶n lớp cao học gi£i t½ch trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n ĐHQGHN khóa 2008 – 2010 đã ph¥n t½ch, đóng góp r§t nhi·u ý ki¸n quý b¡u giúp tôi hoàn thành luªn v«n tèt hơn. Hà Nëi, th¡ng 7 n«m 2011 2
4. Chương 1 Bài to¡n đặt ch¿nh đối với phương tr¼nh vi ph¥n hàm với qu¡ khù không ôtônôm 1.1 Họ ti¸n hóa và to¡n tû li¶n quan Trong mục này, ta b­t đầu tø mët họ ti¸n hóa U tr¶n R− và mở rëng nó ra toàn R để định nghĩa nûa nhóm ti¸n hóa tương ùng tr¶n C0(R;X). Với h¦u h¸t c¡c định nghĩa này ta tham kh£o tø tài li»u bởi Chicone và Latushkin [2] hoặc bài b¡o nghi¶n cùu bởi Schnaubelt ([18] hoặc [3, chap.VI.9]). Định nghĩa 1.1. Mët họ c¡c to¡n tû U = (U(t; s))t6s60 tr¶n mët không gian Banach X được gọi là mët họ ti¸n hóa lùi (li¶n tục m¤nh, bị chặn mũ) tr¶n R− n¸u (i) U(t; t) = Id và U(t; r)U(r; s) = U(t; s) với t 6 r 66 s 6 0. (ii) Ánh x¤ (t; s) 7! U(t; s)x là li¶n tục với mọi x thuëc X. (iii) Tồn t¤i c¡c h¬ng sè N > 1 và !1 2 R sao cho ! (s−t) jjU(t; s)jj 6 Ne 1 với t 6 s 6 0: H¬ng sè α(s−t) !(U) := inffα 2 R : 9H > 1 sao cho jjU(t; s)jj 6 He 8t 6 s 6 0g được gọi là cªn t«ng trưởng cõa U. Để định nghĩa mët nûa nhóm ti¸n hóa tương ùng (v½ dụ xem [2,11] 3
5. hoặc [3, chap.VI.9]) đầu ti¶n ta mở rëng (U(t; s))t s 0 thành họ ti¸n hóa ~ 6 6 lùi (U(t; s))t6s tr¶n R. Điều này có thº đưñc làm b¬ng c¡ch đặt 8 >U(t; s) với t 6 s 6 0; ~ < U(t; s) := U(t; 0) với t 6 0 6 s; > :U(0; 0) = Id với 0 6 t 6 s: ~ ~ Định nghĩa 1.2. Tr¶n E := C0(R;X), nûa nhóm ti¸n hóa (T (t))t 0 tương ~ > ùng với (U(t; s))t6s được cho bởi 8 U(s; s + t)f~(s + t) với s s + t 0; <> 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ (T (t)f)(s) := U(s; s+t)f(s+t) = U(s; 0)f(s + t) với s 6 0 6 s + t; > ~ :f(s + t) với 0 6 s 6 s + t: ~ ~ với mọi f 2 E; s 2 R; t > 0. Nûa nhóm này đã đưñc chùng minh là li¶n tục m¤nh tr¶n E~ (xem [3, Lemma.VI.9.10]). Ta ký hi»u to¡n tû sinh cõa nó là (G;~ D(G~)). C¡c t½nh ch§t sau cõa to¡n tû này đã được ch¿ ra trong trong [10, Lemma. 1] và [15, Theorem. 2.4] Bê đề 1.3. Với u;~ f~ trong E~ và λ 2 C c¡c kh¯ng định sau đúng: (i) u~ 2 D(G~) và (λ − G~)~u = f~ n¸u và ch¿ n¸u u~ và f~ thỏa m¢n phương tr¼nh t½ch ph¥n s Z λ(t−s) ~ λ(t−ξ) ~ ~ u~(t) = e U(t; s)~u(s) + e U(t; ξ)f(ξ)dξ với t 6 s: (1.1) t (ii) To¡n tû (G;~ D(G~)) là mët to¡n tû địa phương theo nghĩa với u~ 2 D(G~) và u~(s) = 0 với 8a < s < b ta có [G~u~](s) = 0 với 8a < s < b. ~ L¥n cªn cõa G cho ph²p ta định nghĩa to¡n tû G tr¶n E := C0(R−;X). n ~ ~ ~ o Định nghĩa 1.4. Đặt D(G) = fjR− : f 2 D(G) và định nghĩa ~ ~ ~ [Gf](t) = [Gf](t) với t 6 0 và f = fjR− Tương tự với bê đề (1.3) ta có mô t£ sau cõa G. 4
6. Bê đề 1.5. Cho u; f 2 E và λ 2 C. Khi đó u 2 D(G) và (λ − G)u = f khi và ch¿ khi u; f thỏa m¢n s Z λ(t−s) λ(t−ξ) u(t) = e U(t; s)u(s) + e U(t; ξ)f(ξ)dξ với t 6 s 6 0: (1.2) t Chùng minh. N¸u u; f 2 E thỏa m¢n phương tr¼nh(1.2), th¼ ta mở rëng u; f tr¶n toàn đường th¯ng bởi ( u(t) với t 0 u~(t) := 6 eλtg(t) với t > 0: ( f(t) với t 0 f~(t) := 6 e−λtg0(t) với t > 0: Ð đây, g : R+ ! X là kh£ vi li¶n tục với gi¡ compact sao cho g(0) = 0 ~ ~ u(0); g (0) = −f(0). Khi đó u;~ f thuëc E = C0(R;X). T½nh to¡n cụ thº thu được u~ và f~ thỏa m¢n phương tr¼nh (1.1). Do vªy, theo bê đề (1.3), ta thu được đẳng thùc (λ − G~)~u = f~ là đúng. Tø định nghĩa cõa G ta có u 2 D(G) và (λ − G)u = f. Ngược l¤i, n¸u u 2 D(G) và (λ − G)u = f, theo định nghĩa cõa G, tồn ~ ~ ~ ~ t¤i u;~ f 2 C0(R;X) sao cho u~jR− = u, fjR− = f và (λ − G)~u = f. Theo bê đề (1.3), u~ và f~ thỏa m¢n phương tr¼nh (1.1). Giới h¤n phương tr¼nh này tr¶n R− ta có u; f thỏa m¢n (1.2). Ta chú ý r¬ng to¡n tû G như th¸ được sû dụng để nghi¶n cùu d¡ng điệu ti»m cªn cõa họ ti¸n hóa tr¶n nûa đường th¯ng (xem [7,11,12]). To¡n tû G trở thành mët to¡n tû sinh ch¿ khi thu hẹp cõa nó tr¶n mët tªp x¡c định nhỏ hơn, ch¯ng h¤n tr¶n D := fu 2 D(G):[D(G)](0) = 0g (xem [11, bê đề 1.1]). Tuy nhi¶n, với c¡c ùng dụng sau ta xem x²t trường hñp têng qu¡t hơn với gi£ thi¸t sau Gi£ thi¸t 1.6. Cho (B; D(B)) là to¡n tû sinh cõa mët nûa nhóm li¶n tục tB tB !2 m¤nh (e )t>0 tr¶n không gian Banach X thỏa m¢n jje jj 6 Me t với c¡c h¬ng sè M > 1 và !2 2 R nào đó. Định nghĩa 1.7. Tr¶n không gian E ta định nghĩa nûa nhóm ti¸n hóa (TB;0(t))t>0 như sau ( U(s; s + t)f(s + t) với s + t 6 0; [TB;0(t)f](s) = (t+s)B với 8f 2 E: U(s; 0)e f(0) với s + t > 0 5
7. Ta có thº kiºm tra đưñc r¬ng (TB;0(t))t>0 là li¶n tục m¤nh, và ký hi»u to¡n tû sinh cõa nó là GB;0. Khi đó ta có c¡c t½nh ch§t sau cõa GB;0 và (TB;0(t))t>0. M»nh đề 1.8. C¡c kh¯ng định sau đây là đúng: (i) To¡n tû sinh cõa (TB;0(t))t>0 được cho bởi D(GB;0) := ff 2 D(G): f(0) 2 D(B) và (G(f))(0) = Bf(0)g GB;0f := Gf với f 2 D(GB;0): (ii) Tªp hñp fλ 2 C : Reλ > !(U) và λ 2 ρ(B)g được chùa trong ρ(GB;0). Ngoài ra, với λ trong tªp này, gi£i thùc được cho bởi λt [R(λ, GB;0)f](t) = e U(t; 0)R(λ, B)f(0) 0 Z λ(t−ξ) + e U(t; ξ)f(ξ)dξ với f 2 E; t 6 0: t !t (iii) Nûa nhóm (TB;0(t))t>0 thỏa m¢n jjTB;0(t)jj 6 Ke với K := MN và ! := maxf!1;!2g với c¡c h¬ng sè M; N; !1 và !2 x¡c định trong định nghĩa (1.1) và gi£ thi¸t (1.6). Chùng minh. (i). Điều này có thº được t¼m trong [1. Proposition 2.8]. (ii). Quan s¡t th§y với f 2 E; λ 2 ρ(B) và Reλ > !(U) hàm sè 0 Z λt λ(t−ξ) u(t) := e U(t; 0)R(λ, B)f(0) + e U(t; ξ)f(ξ)dξ; t 6 0 t thuëc vào E và là nghi»m duy nh§t cõa phương tr¼nh (1.2) với điều ki»n ban đầu u(0) = R(λ, B)f(0). Điều ki»n này là tương đương với (λ − B)u(0) = f(0) = [(λ − G)u](0) hoặc [Gu](0) = Bu(0), nghĩa là u 2 D(GB;0) và u = R(λ, GB;0)f. (iii) Điều này được suy ra mët c¡ch d¹ dàng tø định nghĩa cõa (TB;0(t))t>0. 1.2 To¡n tû sinh và t½nh đặt ch¿nh Trong mục này, ta x²t mët to¡n tû tuy¸n t½nh bị chặn Φ: E ! X gọi là to¡n tû tr¹, và sû dụng nó để định nghĩa thu hẹp sau cõa to¡n tû G tø định nghĩa (1.4). 6
8. Định nghĩa 1.9. To¡n tû (GB;Φ;D(GB;Φ) tr¶n E được cho bởi D(GB;Φ) := ff 2 D(G): f(0) 2 D(B); (Gf)(0) = Bf(0) + Φfg GB;Φf := Gf với f 2 D(GB;Φ). Chúng ta nh­c l¤i r¬ng trong [1] c¡c t¡c gi£ sû dụng c¡c phương ph¡p ngo¤i suy tø [16], đã chùng minh r¬ng to¡n tû GB;Φ sinh ra mët nûa nhóm li¶n tục m¤nh (TB;Φ(t))t>0. Trong mục này ta t½nh gi£i thùc cõa GB;Φ và ch¿ ra r¬ng nó thỏa m¢n c¡c điều ki»n cõa định lý Hille - Yosida. C¡ch ti¸p cªn này cho ph²p ta thu được thông tin v· t½nh ên định cõa h» dưới c¡c nhi¹u lo¤n nhỏ cõa to¡n tû tr¹ Φ. Với c¡c v½ dụ cụ thº v· c¡c to¡n tû tr¹ ta tham kh£o [6]. Định lý 1.10. Cho eλ : X ! E là mët hàm được định nghĩa bởi [eλx](t) := λt e U(t; 0)x với t 6 0; x 2 X và Reλ > !(U). Cho c¡c h¬ng sè K và ! được định nghĩa như trong m»nh đề (1.8). Khi đó c¡c kh¯ng định sau là đúng: (i) Tªp fλ 2 C : Reλ > KjjΦjj + !g ⊂ ρ(GB;Φ) và với Reλ > KjjΦjj + ! gi£i thùc cõa GB;Φ thỏa m¢n R(λ, GB;Φ)(f) = eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ)f + R(λ, GB;0)f; f 2 E (1.3) K (ii) jjR(λ, G )jj với Reλ > KjjΦjj + !. B;Φ 6 (Reλ − KjjΦjj − !) (iii) Với Reλ > K2jjΦjj + ! ta có K jjR(λ, G )njj với 8n 2 : (1.4) B;Φ 6 (Reλ − K2jjΦjj − !)n N Chùng minh. (i). Chú ý r¬ng, với λ > KjjΦjj + !, phương tr¼nh 0 Z λt λ(t−ξ) u(t) = e U(t; 0)R(λ, B)(f(0) + Φu) + e U(t; ξ)f(ξ)dξ với t 6 0 t (1.5) tương đương với u = eλR(λ, B)Φu + R(λ, GB;0)f: (1.6) N¸u với méi f 2 E và Reλ > KjjΦjj + ! phương tr¼nh này có mët nghi»m duy nh§t u 2 E, khi đó u(0) = R(λ, B)(f(0)+Φu). Điều này tương 7
9. đương với (λ − B)u(0) = [(λ − G)u](0) + Φu hoặc [Gu](0) = Bu(0) + Φu. Vªy, theo bê đề (1.5), u 2 D(GB;Φ) và u = R(λ, GB;Φ)f. Do vªy, để chùng minh (i) ta ph£i ch¿ ra r¬ng, với méi f 2 E và Reλ > KjjΦjj + !, phương tr¼nh (1.6) có mët nghi»m duy nh§t u 2 E. Cho Mλ : E ! E là to¡n tû tuy¸n t½nh được định nghĩa bởi: Mλ := eλR(λ, B)Φ. V¼ λ thỏa m¢n Reλ > KjjΦjj + !, ta có Mλ bị chặn với KjjΦjj jjM jj < 1 λ 6 Reλ − ! Do đó, to¡n tû I − Mλ là kh£ nghịch, và phương tr¼nh (1.6) có mët nghi»m −1 duy nh§t u = (I − Mλ) R(λ, GB;0)f. Do vªy R(λ, GB;Φ)f = MλR(λ, GB;Φ)f + R(λ, GB;0)f 1 −1 P n (ii). Tø chuéi Neumann (I − Mλ) = Mλ ta có với Reλ > KjjΦjj + ! n=0 th¼ 1 1 X K X jjR(λ, G )jj = M nR(λ, G ) jjM njj B;Φ λ B;0 6 (Reλ − !) λ n=0 n=0 1 n K X  KjjΦjj  K = 6 (Reλ − !) Reλ − ! (Reλ − KjjΦjj − !) n=0 (iii). Ta s³ chùng minh điều này b¬ng quy n¤p. Tø (1.3) ta thu được n n n−1 R(λ, GB;Φ) = eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) + R(λ, GB;0)R(λ, GB;Φ) n = eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) n−1 + R(λ, GB;0)eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) 2 n−2 + R(λ, GB;0) R(λ, GB;Φ) = ::::: n = eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) n−1 + R(λ, GB;0)eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) 2 n−2 + R(λ, GB;0) eλR(λ, B)ΦR(λ, GB;Φ) + ::: n + R(λ, GB;0) : (1.7) Rã ràng, (1.4) đúng với n = 1. N¸u (1.4) đúng với n − 1, ta chùng minh nó đúng với n. 8
10. Thªt vªy, với Reλ > K2jjΦjj + !, tø (1.7) và gi£ thi¸t quy n¤p ta có K2jjΦjj jjR(λ, G )njj jjR(λ, G )njj B;Φ 6 Reλ − ! B;Φ K3jjΦjj + (Reλ − !)2(Reλ − ! − K2jjΦjj)n−1 K3jjΦjj + + ::: (Reλ − !)3(Reλ − ! − K2jjΦjj)n−2 K3jjΦjj K + + (Reλ − !)n(Reλ − ! − K2jjΦjj) (Reλ − !)n Đặt a := Reλ − !; b := Reλ − ! − K2jjΦjj, điều này cho k¸t qu£ b K2jjΦjj  1 1 1  1  jjR(λ, G )njj K + + ::: + + a B;Φ 6 a2b bn−1 abn−3 an−2 an 2 0 1 1 1 3 2 − K jjΦjj n−1 n−1 1 = K 6 B a b C + 7 4 a2b @ 1 1 A an 5 − a b K = (chú ý r¬ng a − b = K2jjΦjj): abn−1 V¼ vªy K K jjR(λ, G )njj = : B;Φ 6 bn (Reλ − ! − K2jjΦjj)n V¼ GB;Φ được định nghĩa mët c¡ch chặt ch³, ta thu được nhúng k¸t qu£ sau. H» qu£ 1.11. To¡n tû GB;Φ sinh ra mët nûa nhóm li¶n tục m¤nh (TB;Φ(t))t>0 thỏa m¢n (K2jjΦjj+!)t jjTB;Φ(t)jj 6 Ke với c¡c h¬ng sè K và ! được định nghĩa như trong m»nh đề (1.8). tB H» qu£ 1.12. N¸u họ ti¸n hóa lùi U và nûa nhóm (e )t>0 là ên định mũ và jjΦjj là đủ nhỏ, th¼ nûa nhóm (TB;Φ(t))t>0 cũng ên định mũ. tB Chùng minh. Gi£ sû r¬ng U và (e )t 0 là ên định mũ nghĩa là ! = > ! maxf! ;! g < 0. Do đó, n¸u jjΦjj < − , th¼ nûa nhóm (T (t)) 1 2 K2 B;Φ t>0 cũng ên định mũ. 9