Luận văn Tái chuẩn hóa và phép toán R trong điện động lực học lượng tử

Nội dung tài liệu: Luận văn Tái chuẩn hóa và phép toán R trong điện động lực học lượng tử

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Tiến Dự TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Tiến Dự TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – Năm 2015
3. LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này, cũng nhƣ đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trƣờng. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng nhƣ khoa Vật lý nói chung, những ngƣời đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn. Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên Phạm Tiến Dự
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..1 Chƣơng 1 – ĐẠI CƢƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA ....6 1.1. S- ma trận ....6 1.1.1. Các điều kiện cho S- ma trận ..7 1.1.2. Xác định S- ma trận ..12 1.2. Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED...18 1.2.1. Khai triển S- ma trận về dạng N- tích ...18 1.2.2. Quy tác Feynman trong QED ...22 1.2.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman 24 Chƣơng 2 – TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG ..31 2.1. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron  .31 2.2. Giản đồ phân cực photon ..37 2.3. Giản đồ một vòng bậc ba ..44 2.4. So sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ 51 Chƣơng 3 – TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R ..54 3.1. Tái chuẩn hóa 54 3.2. Phép toán R để khử phân kỳ .64 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..74 PHỤ LỤC ...76
5. DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1: Qui tắc Feynman trong QED .22 Bảng 2: Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất trong QED .29 Bảng 3: So sánh phần phân kỳ thu đƣợc bằng các phƣơng pháp khử phân kỳ trong QED ... ....51 Bảng 4. Quy tắc Feynman cho lý thuyết QED tái chuẩn hóa ..58
6. DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1. Miền nhân quả .8 Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai .20 Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba ..21 Hình 1.4 : Giản đồ một vòng của photon ...21 Hình 1.5. Giản đồ năng lượng riêng của electron ..27 Hình 1.6. Giản đồ năng lượng riêng của photon 27 Hình 1.7. Giản đồ đỉnh bậc 3 ...27 Hình 1.8.. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng ...........27 Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng của electron ...31 Hình 2.2: Giản đồ phân cực photon 38 Hình 2.3: Giản đồ một vòng bậc ba 44 Hình 3.1: Hàm truyền toàn phần của electron. 59 Hình 3.2: Bổ chính bậc thấp nhất của 1PI cho electron ...........61 Hình 3.3: Bổ chính bậc thấp nhất cho 1PI của photon ...63 Hình 3.4: Bổ chính bậc thấp nhất cho phần đỉnh ...........63 Hình 3.5: Nút suy rộng 65
7. Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics- QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ chính e2 1 xác đến bậc bất kỳ theo hằng số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn 4 137 [10]. Trong các lý thuyết trƣờng tƣơng tác thì QED là lý thuyết đƣợc xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các phƣơng pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED ngƣời ta có thể xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lƣợng tử (Quantum Chromodynamics- QCD) – lý thuyết tƣơng tác giữa các hạt quark- gluon, tƣơng tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tƣơng tác – nhƣ lý thuyết điện yếu và tƣơng tác mạnh - và đƣợc gọi là mô hình chuẩn. Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín ) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhƣng tính các bổ chính lƣợng tử bậc cao cho kết quả thu đƣợc, ta gặp phải các tích phân phân kỳ ở vùng xung lƣợng lớn của các hạt ảo, tƣơng ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trƣờng tham gia tƣơng tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích. Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán nhƣ thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ đƣợc 1
8. Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu đƣợc cho quá trình vật lý là hữu hạn. Lƣu ý, việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trƣờng là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu , tìm hiểu và giải quyết. Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng của electron đầu tiên đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED. Cách xây dựng chung S-ma trận và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson. Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng đƣợc tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành. Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu đƣợc là hữu hạn cho các biểu thức đặc trƣng cho tƣơng tác ( bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt). Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu đƣợc, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý thuyết trƣờng lƣợng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trƣng của các quá trình vật lý, đƣợc gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá. Các phƣơng pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trƣờng hiện nay bao gồm: phƣơng pháp cắt xung lƣợng lớn, phƣơng pháp Pauli –Villars, phƣơng pháp chỉnh thứ nguyên, và phƣơng pháp R- toán tử do N.N Bogoliubov khởi xƣớng. Tiếp nối khóa luận tốt nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và các phƣơng pháp khử phân kỳ trong mô hình 3 ”, ta tiếp tục nghiên cứu cho điện động lực học lƣợng tử. Trong khóa luận tốt nghiệp, chúng ta đã xem xét đến ba phƣơng pháp khử phân kỳ đầu tiên và ở đây chúng ta sẽ xem xét đến phƣơng pháp khử phân kỳ cuối cùng sử dụng phép làm đều của Boguliubov và toán tử R . 2
9. Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự Mục đích của luận văn này là chỉ ra ý nghĩa của việc tái chuẩn hóa, sử dụng phép làm đều của Bogoliubov để tách các giản đồ phân kỳ thành hai phần hữu hạn và phân kỳ. Cuối cùng tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng và sử dụng phép toán R để khử phân kỳ cho trƣờng hợp tổng quát. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, phần kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. Chƣơng 1 Giới thiệu chung về lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong mục 1.1 giới thiệu S-ma trận và các điều kiện của nó, từ đó chỉ ra rằng các kỳ dị trong lý thuyết trƣờng xuất hiện là do sự bất định của T – tích khi thời gian chập nhau. Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng các giản đồ Feynman và tổng kết quy tắc Feynman cho QED. Tiếp theo đó là xem xét bậc hội tụ của các giản đồ Feynman, từ đó chỉ ra ba giản đồ phân kỳ cơ bản nhất của QED. Chƣơng 2 Xem xét chi tiết ba giản đồ phân kỳ đã đƣa ra ở chƣơng 1, từ đó tách các tích phân tƣơng ứng thành hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ, bằng phƣơng pháp làm đều của Bogoliubov. Chi tiết đƣợc trình bầy trong các mục: 2.1 là giản đồ năng lƣợng riêng của electron, 2.2 là giản đồ phân cực chân không của photon và 2.3 là giản đồ đỉnh bậc ba. Cuối cùng trong mục 2.4 chúng ta sẽ so sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ là : Cắt xung lƣợng lớn; Pauli- Villars; Điều chỉnh thứ nguyên và phƣơng pháp làm đều Bogoluibov. Chƣơng 3 Từ kết quả trong chƣơng 2, ta xây dựng lý thuyết tái chuẩn hóa cho QED. Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng trong QED cho gần đúng một vòng; Mục 3.2 chúng ta sẽ đƣa ra phép toán R để khử phân kỳ dựa trên kết quả trong chƣơng 1 về sự bất định của T - tích. 3
10. Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự Phần kết luận liệt kê các kết quả thu đƣợc trong Bản khóa luận và thảo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trƣờng tƣơng tự. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử c 1 và metric giả Euclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực AAA 0 , gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số  0,1,2,3 , và theo quy ƣớc ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên. def AAAAAAAA 0,,,, 0 1 2 3  (0.1) Các véctơ phản biến là tọa độ: x xtxxx0 ,,,, 1 2 yx 3 z tx , (0.2) thì các véctơ tọa độ hiệp biến:  xgx  xtx0 ,,,, 1 xx 2 yx 3 z tx , (0.3) véctơ năng xung lƣợng:  p E,,,, px p y p z E p . (0.4) Tích vô hƣớng của hai véctơ đƣợc xác định:    00 AB gAB AB  AB AB (0.5) Tensor metric có dạng: 4