Luận văn Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ÊN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂ CHẬM VÀ MËT SÈ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - 2013
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ÊN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂ CHẬM VÀ MËT SÈ ỨNG DỤNG Chuy¶n ngành: TOÁN GIẢI TÍCH M¢ sè: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nëi - 2013
3. Mục lục 1 Phương tr¼nh vi ph¥n có chªm 4 1.1 Giới thi»u v· phương tr¼nh vi ph¥n hàm . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 D¤ng biºu di¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Nghi»m và định lý tồn t¤i duy nh§t nghi»m . . . . . . . . . 6 1.2 C¡ch gi£i phương tr¼nh có chªm h¬ng rời r¤c . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Trường hñp có mët độ chªm h¬ng rời r¤c . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Trường hñp có nhi·u độ chªm h¬ng rời r¤c . . . . . . . . . 14 2 Sự ên định cõa c¡c phương tr¼nh vi ph¥n có chªm 18 2.1 Ki¸n thùc mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Kh¡i ni»m nghi»m ên định, bị chặn . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Mët sè bê đề c¦n dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Phương ph¡p nghi¶n cùu t½nh ên định . . . . . . . . . . . 20 2.2 H» tuy¸n t½nh không døng và phương tr¼nh Riccati . . . . . . . . 24 2.3 C¡c k¸t qu£ cho phương tr¼nh vi ph¥n có chªm ph¥n phèi . . . . . 30 2.4 B§t phương tr¼nh ma trªn với h» tuy¸n t½nh không døng . . . . 34 3 Mët vài ùng dụng cõa phương tr¼nh vi ph¥n có chªm 39 3.1 Ứng dụng vào bài to¡n ên định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Ứng dụng vào mô h¼nh t«ng trưởng qu¦n thº mët loài . . . . . . . 45 1
4. Mở Đầu Lý thuy¸t ên định c¡c phương tr¼nh vi ph¥n là mët trong nhúng hướng nghi¶n cùu quan trọng cõa To¡n học. Lý thuy¸t này được được khởi đầu tø nhúng đòi hỏi cõa thực t¸ và có nhi·u ùng dụng trong c¡c lĩnh vực kh¡c nhau như Cơ học, Điều khiºn học, Vªt lý, To¡n học, Sinh th¡i học, Kỹ thuªt, Kinh t¸, ... . Hi»n nay lý thuy¸t ên định v¨n là mët trong nhúng lĩnh vực To¡n học lớn được nhi·u người quan t¥m. Lý thuy¸t ên định đã được nghi¶n cùu nhi·u cho c¡c h» phương tr¼nh vi ph¥n thường. Ngày nay, vi»c nghi¶n cùu đã được mở rëng theo nhi·u hướng. Mët trong sè đó là nghi¶n cùu tr¶n c¡c phương tr¼nh vi ph¥n hàm, đặc bi»t là c¡c phương tr¼nh có chªm. Luªn v«n này đề cªp đến t½nh ên định cõa mët lớp c¡c phương tr¼nh vi ph¥n có chªm và tr¼nh bày mët vài ùng dụng cõa nó. Bè cục luªn v«n gồm ph¦n mở đầu, ba chương, ph¦n k¸t luªn và danh mục tài li»u tham kh£o. Chương mët tr¼nh bày nhúng ki¸n thùc cơ sở v· phương tr¼nh vi ph¥n hàm: giới thi»u v· kh¡i ni»m và c¡ch t¼m nghi»m theo điều ki»n ban đầu cõa mët sè lo¤i phương tr¼nh vi ph¥n có chªm. C¡c v½ dụ ở ph¦n này ngoài mục đích giới thi»u c¡ch gi£i phương tr¼nh vi ph¥n hàm cán nh¬m làm bªt t½nh vô h¤n chi·u cõa tªp nghi»m cõa phương tr¼nh vi ph¥n hàm, b§t kº không gian tr¤ng th¡i là vô h¤n chi·u hay húu h¤n chi·u. Chương hai tr¼nh bày kh¡i ni»m ên định nghi»m và c¡c phương ph¡p ch½nh để nghi¶n cùu t½nh ên định cõa h» phương tr¼nh vi ph¥n có chªm. C¡c định lý ở đây đều thuëc hướng nghi¶n cùu ên định b¬ng phương ph¡p thù hai Lyapunov. Với c¡c phương tr¼nh hàm, thay v¼ hàm Lyapunov thông thường ta s³ c¦n dùng tới c¡c công cụ m¤nh hơn đó là c¡c phi¸m hàm Lyapunov- Krasovskii trong không gian c¡c hàm li¶n tục. Ngoài ra, chương này cán giới thi»u công thùc nghi»m cõa phương tr¼nh ma trªn Riccati trong trường hñp h» tuy¸n t½nh không døng và k¸t qu£ cho phương tr¼nh vi ph¥n có chªm không døng. Chương ba tr¼nh bày mët sè ùng dụng cõa phương tr¼nh vi ph¥n có chªm. 2
5. Cụ thº là ùng dụng c¡c k¸t qu£ ên định cõa c¡c h» có chªm vào bài to¡n điều khiºn và bài to¡n ph¥n t½ch t½nh ch§t qu¦n thº sinh th¡i đơn loài. B£n luªn v«n này được thực hi»n dưới sự hướng d¨n cõa PGS. TS. Nguy¹n Sinh B£y. Nh¥n dịp này tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c tới th¦y, người đã dành nhi·u công sùc và thời gian để hướng d¨n, kiºm tra, giúp đỡ tôi trong vi»c hoàn thành b£n luªn v«n. Tôi xin gûi lời c£m ơn đến l¢nh đạo và c¡c th¦y cô trong khoa To¡n - Cơ - Tin học, trường Фi học Khoa học Tự nhi¶n Hà Nëi v· c¡c ki¸n thùc và nhúng điều tèt đẹp mang l¤i cho tôi trong thời gian học tªp t¤i trường. Tôi xin c£m ơn tới pháng Sau Đại học v· nhúng điều ki»n thuªn lñi trong vi»c hoàn thành thõ tục học tªp và b£o v» luªn v«n. C¡m ơn c¡c th¦y và c¡c b¤n trong seminar Phương tr¼nh vi ph¥n v· nhúng sự động vi¶n và nhúng ý ki¸n trao đổi qu½ b¡u đối với b£n th¥n tôi trong thời gian qua. Cuèi cùng tôi muèn tỏ láng bi¸t ơn gia đình, người th¥n là ché dựa v· tinh th¦n và vªt ch§t cho tôi trong cuëc sèng và trong học tªp. Mặc dù đã có nhi·u cè g­ng nhưng b£n luªn v«n khó tr¡nh khỏi nhúng thi¸u sót. V¼ vªy, tôi r§t mong nhªn được sự góp ý cõa quý th¦y, cô và c¡c b¤n. Hà Nëi, th¡ng 11 n«m 2013 Nguy¹n Thị Hªu 3
6. Chương 1 Phương tr¼nh vi ph¥n có chªm 1.1 Giới thi»u v· phương tr¼nh vi ph¥n hàm 1.1.1 D¤ng biºu di¹n Chúng ta nh­c l¤i r¬ng đẳng thùc x_(t) = f(t; x(t)); x 2 X; t 2 R gọi là mët phương tr¼nh vi ph¥n thường trong không gian X (xem [1, 2, 13 ]). Ð đẳng thùc này ta th§y tèc độ thay đổi cõa h» thèng (đối tượng nghi¶n cùu) t¤i thời điểm t (đặc trưng bởi x_(t)) ch¿ phụ thuëc vào t và tr¤ng th¡i tùc thời x(t) cõa ch½nh h» thèng đó. Sau đây, ta s³ đề cªp đến mët lo¤i phương tr¼nh vi ph¥n trong đó ngoài sự phụ thuëc như tr¶n tèc độ thay đổi x_(t) cán phụ thuëc vào tr¤ng th¡i cõa h» thèng trong qu¡ khù hoặc trong tương lai (xem [8, 9, 10 12] ). Ta x²t phương tr¼nh sau x_(t) = f(t; x(q1(t)); x(q2(t)); :::; x(qs(t))); (1.1) trong đó x 2 Rn và để đơn gi£n (đủ cho vi»c nghi¶n cùu định t½nh) ta ch¿ x²t cho trường hñp t 2 R+ := [0; +1); f : R+ × Rn×s −! Rn, f 2 C0 (li¶n tục theo t), qi(t)(i = 1; s) là c¡c hàm đơn điệu. Khi đó • N¸u qi(t) = t; 8i = 1; s th¼ (1.1) là mët phương tr¼nh vi ph¥n thường. • N¸u qi(t) ≤ t; 8i = 1; s và tồn t¤i i0 sao cho qi0 (t) < t th¼ (1.1) được gọi là mët phương tr¼nh vi ph¥n có chªm. • N¸u qi(t) ≥ t; 8i = 1; s và tồn t¤i i0 sao cho qi0 (t) > t th¼ (1.1) được gọi là mët phương tr¼nh vi ph¥n sớm. 4
7. • N¸u tồn t¤i i0 và i1 sao cho qi0 (t) t th¼ (1.1) được gọi là mët phương tr¼nh vi ph¥n vøa chªm, vøa sớm. Trø trường hñp đầu (khi là phương tr¼nh vi ph¥n thường), ở c¡c trường hñp sau phương tr¼nh (1.1) được gọi là mët phương tr¼nh vi ph¥n hàm. T¶n gọi này xu§t ph¡t tø vi»c c¦n thi¸t ph£i x²t tªp nghi»m trong không gian c¡c hàm li¶n tục chù không ph£i ch¿ x²t chúng trong không gian tr¤ng th¡i như với c¡c phương tr¼nh vi ph¥n thường. Điều này ph£n ¡nh b£n ch§t vô h¤n chi·u cõa tªp nghi»m cõa c¡c phương tr¼nh vi ph¥n thuëc lớp này (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ). Qua c¡c nëi dung trong luªn v«n ta s³ làm rã ý ki¸n này. Trong Luªn v«n này ta bỏ qua c¡c phương tr¼nh sớm mà ch¿ nghi¶n cùu v· c¡c phương tr¼nh chªm, nghĩa là khi qi(t) ≤ t; 8i = 1; s và tồn t¤i i0 sao cho qi0 (t) < t. Tªp thời gian được mặc định là t 2 R+ := [0; +1). Trong trường hñp này h := maxfmaxft − qi(t)gg i t2R+ được gọi là độ chªm cõa phương tr¼nh. Sau đây là mët sè ki¸n thùc mở đầu v· lo¤i phương tr¼nh này. X²t phương tr¼nh (1.1) trong đó qi(t) 0. Ký hi»u C := C([−h; 0]; Rn) là không gian Banach cõa c¡c hàm li¶n tục tr¶n đo¤n [−h; 0] và nhªn gi¡ trị trong Rn: Chu©n cõa hàm φ 2 C x¡c định như sau jjφjjC = sup jjφ(θ)jjRn : −h≤θ≤0 Gi£ sû x = x(t) là mët hàm li¶n tục tr¶n R+. Với méi t 2 R+, b¬ng c¡ch đặt xt(s) = x(t + s); 8s 2 [−h; 0] n ta s³ có hàm xt 2 C([−h; 0]; R ). Như vªy, xt là cung tø t − h đến t cõa đường cong x = x(t). Khi s ch¤y tr¶n [−h; 0] ta th§y x(t + s) ch¤y tr¶n [t − h; t]. Có thº th§y đại lượng này mang c¡c thông tin v· tr¤ng th¡i x(s) với s 2 [t − h; t]. C¡c thông tin này là "chªm" theo nghĩa đã x£y ra trước thời điểm t. Khi x_(t) phụ thuëc vào c¡c tr¤ng th¡i này, ta s³ có mët quan h» hàm được mô t£ như sau x_(t) = f(t; xt); (1.2) trong đó n f : D ⊂ R × C −! R : Đây là phương tr¼nh têng qu¡t nh§t cõa c¡c phương tr¼nh có chªm với độ chªm h. 5
8. 1.1.2 Nghi»m và định lý tồn t¤i duy nh§t nghi»m Định nghĩa 1.1. ([9]) Hàm li¶n tục x = x(t) có đạo hàm ph£i h¦u kh­p nơi tr¶n R+ mà khi thay vào (1.2) được đẳng thùc được gọi là mët nghi»m cõa phương tr¼nh có chªm (1.2). Điều ki»n ban đầu. + Định nghĩa 1.2. ([9]) Cho trước φ 2 C và t0 2 R . Nghi»m x(:) cõa (1.2) thỏa m¢n điều ki»n x(s) = φ(s); 8s 2 [t0 − h; t0] gọi là nghi»m đựợc x¡c định bởi điều ki»n ban đầu (t0; φ) (hay là nghi»m đi qua (t0; φ)). Nghi»m này thường được ký hi»u là x(t0; φ, t) hoặc ch¿ đơn gi£n là x(t), khi không có kh£ n«ng nh¦m l¨n. Định lý tồn t¤i, duy nh§t nghi»m Định lý 1.1. ([9], tr 41) Gi£ sû D là mët tªp mở trong R+ ×C và f 2 C(D; Rn). N¸u (t0; φ) 2 D th¼ tồn t¤i mët nghi»m cõa phương tr¼nh (1.2) đi qua (t0; φ). N¸u hàm f là Lipschitz theo bi¸n φ th¼ nghi»m nói tr¶n x¡c định duy nh§t. Định lý tr¶n đây được chùng minh ở [9], dựa vào bê đề sau đây ([9], tr 37) + Bê đề 1.1. ([9]) N¸u t0 2 R ; φ 2 C cho trước và f(t; φ) là li¶n tục th¼ vi»c t¼m nghi»m cõa phương tr¼nh (1.2) qua (t0; φ) tương đương với vi»c gi£i phương tr¼nh t½ch ph¥n sau xt0 = φ Z t (1.3) x(t) = φ(t0) + f(s; xs)ds; t ≥ t0: t0 Lưu ý r¬ng hàm x(t) thỏa m¢n phương tr¼nh t½ch ph¥n trong Bê đề 1.1 ch¿ c¦n kh£ vi b¶n ph£i h¦u kh­p nơi, không c¦n ph£i kh£ vi (hai ph½a) kh­p nơi như kh¡i ni»m nghi»m cê điển cõa c¡c phương tr¼nh vi ph¥n thường. Ta s³ th§y điều này qua c¡c v½ dụ v· vi»c gi£i c¡c phương tr¼nh chªm ở ph¦n sau. 6
9. 1.2 C¡ch gi£i phương tr¼nh có chªm h¬ng rời r¤c 1.2.1 Trường hñp có mët độ chªm h¬ng rời r¤c C¡c phương tr¼nh vi ph¥n thường d¤ng đặc bi»t ta có thº gi£i đưñc, hơn núa có thº đưa ra c¡c công thùc gi£i t½ch tường minh cho tªp nghi»m tr¶n toàn bë trục sè. Với c¡c phương tr¼nh vi ph¥n hàm vi»c t¼m nghi»m như vªy nói chung là không thº, trø mët vài phương tr¼nh đơn gi£n với c¡c điều ki»n ban đầu cho trước. Ngay c£ trong trường hñp này, công thùc nghi»m cũng ch¿ có thº t¼m b¬ng c¡ch dựa vào Bê đ· 1.1 (xem [9]), l§y t½ch ph¥n tr¶n tøng đo¤n có độ dài h0 th½ch hñp, b­t đầu tø t0. C¡c k¸t qu£ nhªn được là r§t kh¡c nhau theo c¡c điều ki»n ban đầu kh¡c nhau và nói chung không n¶u được mët công thùc gi£i t½ch cho c£ b¡n trục R+. Phương ph¡p l§y t½ch ph¥n theo tøng đoạn như vªy gọi là phương ph¡p "step" (bước chªm). Sau đây là mët vài v½ dụ v· vi»c t¼m nghi»m tr¶n c¡c kho£ng húu h¤n theo điều ki»n ban đầu. Nh­c l¤i phương tr¼nh có độ chªm h > 0 (1.2) x_(t) = f(t; xt) n trong đó xt 2 C([−h; 0]; R ); xt(s) = x(t+s); 8s 2 [−h; 0]. Trước ti¶n, ta ph¥n t½ch độ phùc t¤p cõa tªp nghi»m cõa phương tr¼nh này tr¶n góc nh¼n tø tªp phê. Để minh họa ta x²t v½ dụ sau cho trường hñp x 2 R1. x_(t) = x(t) (1.4) x_(t) = x(t − 1) (1.5) T¼m nghi»m ở d¤ng x(t) = eλt; (λ 2 C), ta s³ có ngay phương tr¼nh đặc trưng cõa (1.4) và (1.5) tương ùng là λ = 1 (1.6) −λ λ = e ; (λ 2 C): (1.7) Rã ràng nghi»m cõa (1.6) là duy nh§t, nghi»m cơ b£n cõa phương tr¼nh ch¿ có mët hàm x = et. Nghi»m têng qu¡t cõa phương tr¼nh đơn gi£n là x = Cet(C là h¬ng sè tuỳ ý). Trong khi đó, tªp c¡c nghi»m phùc cõa phương tr¼nh đặc trưng (1.5) là mët tªp vô h¤n đếm được (xem [9] ). Do đó, tªp nghi»m cõa phương tr¼nh có chªm (1.3) là mët tªp vô h¤n đếm được. Qua v½ dụ này ta th§y ngay c£ khi phương tr¼nh là r§t đơn gi£n (mët kho£ng chªm rời r¤c và không gian tr¤ng th¡i là vô hướng) tªp phê cõa phương tr¼nh đã kh¡ phùc t¤p. Khi d¤ng cõa phương tr¼nh têng qu¡t hơn và sè chi·u cõa không gian t«ng l¶n th¼ tªp 7
10. phê l¤i càng phong phú, nói chung là r§t khó kiºm so¡t. Điều đó cũng có nghĩa là tªp nghi»m cõa phương tr¼nh hàm là phùc t¤p, khó nghi¶n cùu v· mặt định lượng. V· sự kh¡c bi»t giúa (1.2) và (1.3) cũng s³ được làm rã qua c¡ch gi£i hai phương tr¼nh này b¬ng phương ph¡p step ở ph¦n sau. Với điều ki»n ban đầu hoặc điều ki»n bi¶n x¡c định, tªp nghi»m có thº trở n¶n đơn gi£n và tường minh hơn. Ta minh họa nhªn x²t này qua v½ dụ sau trong trường hñp đơn gi£n nh§t, khi không gian tr¤ng th¡i là vô hướng (X = R). Ta x²t cùng mët phương tr¼nh nhưng trong ba t¼nh huèng sau: V½ dụ 1.1. a) Phương tr¼nh vi ph¥n có chªm không có điều ki»n ban đầu π x_(t) = −x(t − ): (1.8) 2 b) Phương tr¼nh vi ph¥n có chªm với điều ki»n ban đầu 8 π x_(t) = −x(t − ); t ≥ 0 < 2 h π i (1.9) :x(t) = a; 8t 2 − ; 0 ; (a 2 ): 2 R c) Phương tr¼nh vi ph¥n có chªm với điều ki»n bi¶n 8 π h π i >x_(t) = −x(t − ); t 2 0; > 2 2 < h π i x_(t) = 0; 8t 2 R n 0; (1.10) > 2 > :x(0) = a; (a 2 R): Ta có thº th§y x(t) = cos t là nghi»m cõa (1.8). Thªt vªy, với mọi t ≥ 0 có  π   π  x_(t) = − sin t = − cos t − = −x t − : 2 2 Tuy nhi¶n, x(t) = cos t l¤i không ph£i là nghi»m cõa (1.9) v¼ không thỏa m¢n điều ki»n ban đầu h π i x(t) = a; 8t 2 − ; 0 : 2 Và x(t) = cos t cũng không ph£i là nghi»m cõa (1.10) v¼ không thỏa m¢n điều ki»n bi¶n h π i x_(t) = 0; 8t 2 n 0; : R 2 Ti¸p theo, để t¼m nghi»m cõa (1.9), ta s³ sû dụng công thùc t½ch ph¥n ở Bê đề 1.1 (phương ph¡p step) Z t x(t) = φ(0) + f(s; xs)ds: 0 8